Đề bài
Đối với mỗi giá trị của tham số m, hãy xác định số nghiệm của phương trình :
\[\sqrt {2\left| x \right| - {x^2}} = m\]
Lời giải chi tiết
Với \[m < 0\] : Phương trình vô nghiệm
Với \[m = 0\] : Phương trình có ba nghiệm \[x = 0 ; x = ±2.\]
Với \[m > 0\] : Phương trình tương đương với
\[\left| {{x^2}} \right| - 2\left| x \right| + {m^2} = 0.\] [1]
Xét phương trình \[{y^2} - 2y + {m^2} = 0\] [2]
Có \[\Delta ' = 1 - {m^2}.\]
- Nếu \[m > 1\] thì [2] vô nghiệm nên [1] vô nghiệm.
- Nếu \[m = 1\] thì [2] có nghiệm \[y = 1\] nên [1] có hai nghiệm \[x = ±1.\]
- Nếu \[0 < m < 1\] thì [2] có hai nghiệm dương
\[{y_1} = 1 + \sqrt {1 - {m^2}} ,{y_2} = 1 - \sqrt {1 - {m^2}} \]
Suy ra [1] có bốn nghiệm phân biệt
\[\begin{array}{l}{x_{1,2}} = \pm \left[ {1 + \sqrt {1 - {m^2}} } \right]\\{x_{3,4}} = \pm \left[ {1 - \sqrt {1 - {m^2}} } \right].\end{array}\]