Cho \[A, B\] là hai điểm trên parabol \[[P]: {y^2} = 2px\] sao cho tổng các khoảng cách từ \[A\] và \[B\] tới đường chuẩn của \[[P]\] bằng độ dài \[AB\]. Chứng minh rằng \[AB\] luôn đi qua tiêu điểm của \[[P].\]
Đề bài
Cho \[A, B\] là hai điểm trên parabol \[[P]: {y^2} = 2px\] sao cho tổng các khoảng cách từ \[A\] và \[B\] tới đường chuẩn của \[[P]\] bằng độ dài \[AB\]. Chứng minh rằng \[AB\] luôn đi qua tiêu điểm của \[[P].\]
Lời giải chi tiết
[h.128].
Gọi \[A, B\] thứ tự là hình chiếu của \[A, B\] trên đường chuẩn \[\Delta \] của \[[P]; F\] là tiêu điểm của \[[P]\].
Ta có
\[A, B \in [P] \Rightarrow AF = d[A ; \Delta ] = AA' , \]
\[BF = d[B ; \Delta ] = BB'\].
Suy ra
\[AF+BF=AA+BB=AB.\]
Vậy \[A, B, F\] thẳng hàng hay \[AB\] đi qua \[F.\]