Đề bài
Tam giác \[MNP\] có \[MN=4, MP=8,\] \[\widehat M = {60^0}\].Lấy điểm \[E\] trên tia \[MP\] và đặt \[\overrightarrow {ME} = k\overrightarrow {MP} \]. Tìm \[k\] để \[NE\] vuông góc với trung tuyến \[MF\] của tam giác \[MNP.\]
Lời giải chi tiết
[h.28].
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {NE} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {ME} = k\overrightarrow {MP} - \overrightarrow {MN},\\\overrightarrow {MF} = \dfrac{1}{2}[\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MN} ].\\NE \bot MF\\ \Leftrightarrow[\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MN} ].[k\overrightarrow {MP} - \overrightarrow {MN} ] = 0\\\Leftrightarrow \,k = \dfrac{{\overrightarrow {MN} .[\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MN} ]}}{{\overrightarrow {MP} .[\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {MN} ]}}\\ = \dfrac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} + {{\overrightarrow {MN} }^2}}}{{{{\overrightarrow {MP} }^2} + \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} }}\\ = \dfrac{{16 + 16}}{{64 + 16}} = \dfrac{2}{5}.\end{array}\]