- LG a
- LG b
- LG c
Cho các vec tơ \[\overrightarrow a [ - 2 ; 3] ; \overrightarrow b [4 ; 1]\].
LG a
Tính côsin của góc giữa mỗi cặp vec tơ sau:
\[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow b; \] \[\overrightarrow a \] và \[\overrightarrow i; \] \[\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow j ;\] \[\overrightarrow a + \overrightarrow b \] và \[\overrightarrow a - \overrightarrow b \]
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \dfrac{{ - 2.4 + 3.1}}{{\sqrt {{2^2} + {3^3}} .\sqrt {{4^2} + {1^2}} }}\\ = - \dfrac{5}{{\sqrt {221} }} ;\\\cos \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow i } \right] = - \dfrac{2}{{\sqrt {13} }} ; \\\cos \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow j } \right] = \dfrac{1}{{\sqrt {17} }} ;\\\overrightarrow a + \overrightarrow b = [2 ; 4] ; \overrightarrow a - \overrightarrow b = [ - 6 ; 2] ;\\\cos \left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b , \overrightarrow a - \overrightarrow b } \right] \\= \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2}} }} = - \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }}.\end{array}\]
LG b
Tìm các số \[k\] và \[l\] sao cho vec tơ \[\overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b \] vuông góc với vec tơ \[\overrightarrow a + \overrightarrow b \].
Lời giải chi tiết:
Ta có
\[\begin{array}{l}\overrightarrow c = k\overrightarrow a + l\overrightarrow b = [ - 2k + 4l ; 3k + l] ;\\\overrightarrow c \bot \left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right] \Leftrightarrow \overrightarrow c .\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right] = 0 \\ \Leftrightarrow 2[ - 2k + 4l] + 4[3k + l] = 0\\ \Leftrightarrow 2k + 3l = 0.\end{array}\]
Vậy với \[2k+3l=0\] thì \[\overrightarrow c \bot \left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right].\]
LG c
Tìm vec tơ \[\overrightarrow d \] biết \[\overrightarrow a . \overrightarrow d = 4\] và \[\overrightarrow b . \overrightarrow d = - 2\].
Lời giải chi tiết:
Giả sử \[\overrightarrow d = [x ; y]\]. Khi đó từ \[\overrightarrow a .\overrightarrow d = 4 ; \overrightarrow b .\overrightarrow d = - 2\], suy ra hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 4\\4x + y = - 2\end{array} \right.\]
Từ đó giải hệ ta có \[\overrightarrow d = \left[ { - \dfrac{5}{7} ; \dfrac{6}{7}} \right]\].