Đề bài
Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và
a] Đi qua \[A[2 ; -1].\]
b] Có tâm thuộc đường thẳng \[3x-5y-8=0.\]
Lời giải chi tiết
Phương trình đường tròn \[[C]\], tâm \[I[a ; b]\], bán kính \[R\] có dạng
\[{[x - a]^2} + {[y - b]^2} = {R^2}\].
\[[C]\] tiếp xúc với \[Ox, Oy\] khi và chỉ khi \[|a| = |b| = R\]. Phương trình của \[[C]\] trở thành
\[{[x - a]^2} + {[y - b]^2} = {a^2}\].
a] \[A[2 ; - 1] \in [C]\]
\[ \Rightarrow {[2 - a]^2} + {[ - 1 - b]^2} = {a^2}\]. [1]
Với \[a=b\] thì \[[1] \Leftrightarrow {[2 - a]^2} + {[1 + a]^2} = {a^2}\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 5 = 0\], phương trình vô nghiệm.
Với \[a=-b\] thì \[ [1] \Leftrightarrow {[2 - a]^2} + {[a - 1]^2} = {a^2}\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \Leftrightarrow a = 1\] hoặc \[a = 5\].
- Khi \[a = 1 \Rightarrow b = - 1, R = 1\], ta được đường tròn \[[{C_1}]: {[x - 1]^2} + {[y + 1]^2} = 1\].
- Khi \[a = 5 \Rightarrow b = - 5, R = 5\], ta được đường tròn \[[{C_2}]: {[x - 5]^2} + {[y + 5]^2} = 25\].
b] \[I\] thuộc đường thẳng \[3x-5y-8=0\] nên \[3a-5b-8=0.\] [2]
Với \[a=b\] thì \[[2] \Leftrightarrow 3a - 5a - 8 = 0 \Leftrightarrow a = - 4 \] \[ \Rightarrow b = - 4, R = 4\].
Ta được đường tròn \[[{C_1}]: {[x + 4]^2} + {[y + 4]^2} = 16\].
Với \[a=-b\] thì \[[2] \Leftrightarrow 3a - 5.[ - a] - 8 = 0 \] \[ \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = - 1,R = 1\].
Ta được đường tròn \[[{C_2}]: {[x - 1]^2} + {[y + 1]^2} = 1\].