Đề bài
Cho hình vuông có đỉnh \[A=[-4 ; 5]\] và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình \[7x-y+8=0\]. Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông.
Lời giải chi tiết
[h.101].
Nhận thấy \[A \notin \Delta : 7x - y + 8 = 0\]. Vậy \[B, D \in \Delta \].
\[\Delta \] có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow u [1 ; 7]\]. Phương trình đường chéo \[AC\] là:
\[1[x + 4] + 7[y - 5] = 0\]
\[\Leftrightarrow x + 7y - 31 = 0\].
Tọa độ giao điểm \[I\] của \[AC\] và \[BD\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 8 = 0\\x + 7y - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\]. Vậy \[I\left[ { - \dfrac{1}{2} ; \dfrac{9}{2}} \right]\]
Suy ra tọa độ của \[C\] là \[[3 ; 4]\].
Vì \[ABCD\] là hình vuông nên \[AC\] tạo với các đường thẳng \[AB\] và \[AD\] các góc \[45^0\]. Đường thẳng \[d\] đi qua \[A[-4 ; 5]\] có phương trình:
\[\alpha [x + 4] + \beta [y - 5] = 0 \]
\[\Leftrightarrow \alpha x + \beta y + 4\alpha - 5\beta = 0\] \[[{\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0]\].
D tạo với \[AC\] một góc \[45^0\]khi và chỉ khi \[\cos {45^0} = \dfrac{{|\alpha + 7\beta |}}{{\sqrt {50.} \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}\]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{|\alpha + 7\beta |}}{{\sqrt {50} .\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}\]
\[\Leftrightarrow 12{\alpha ^2} - 7\alpha \beta - 12{\beta ^2} = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = \dfrac{4}{3}\beta \\\alpha = - \dfrac{3}{4}\beta \end{array} \right.\]
Với \[\alpha = \dfrac{4}{3}\beta \], ta chọn \[\beta = 3, \alpha = 4\] ta được đường thẳng \[{d_1}: 4x + 3y + 1 = 0\].
Với \[\alpha = - \dfrac{3}{4}\beta \], ta chọn \[\beta = - 4, \alpha = 3\] ta được đường thẳng \[{d_2}: 3x - 4y + 32 = 0\].
Lấy phương trình \[AB\] là :\[4x+3y+1=0\] thì phương trình \[AD\] là \[3x-4y+32=0.\]
Do đó ta viết được phương trình của \[CD\] và \[BC\] lần lượt là \[4x+3y-24=0\] và \[3x-4y+7=0.\] [Lấy phương trình \[AD\] là \[4x+3y+1=0\] thì phương trình của \[AB\] là \[3x-4y+32=0\] và ta cũng có kết quả tương tự].