- LG a
- LG b
- LG c
Cho đường tròn \[[C]: {x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\] và điểm \[A[1 ; 3].\]
LG a
Chứng minh rằng \[A\] ở ngoài đường tròn;
Lời giải chi tiết:
\[[C]\] có tâm \[I[3 ; -1]\], bán kính \[R=2.\]
\[IA = \sqrt {{{[1 - 3]}^2} + {{[3 + 1]}^2}}\]
\[ = 2\sqrt 5 > R\], suy ra \[A\] nằm ngoài \[[C].\]
LG b
Viết phương trình tiếp tuyến của \[[C]\] kẻ từ \[A;\]
Lời giải chi tiết:
\[A\] nằm ngoài \[[C]\] nên từ \[A\] ta kẻ được hai tiếp tuyến đến \[[C].\]
Đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[A\] có phương trình:
\[\alpha [x - 1] + \beta [y - 3] = 0 \]
\[ \Leftrightarrow \alpha x + \beta y - \alpha - 3\beta = 0 \] \[[{\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0]\].
\[\Delta \] tiếp xúc với [C]
\[ \Leftrightarrow d[I ; \Delta ] = R \]
\[ \Leftrightarrow \dfrac{{|3\alpha - \beta - \alpha - 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\]
\[|\alpha - 2\beta | = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \]
\[ \Leftrightarrow \beta [3\beta - 4\alpha ] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\beta = 0\\\beta = \dfrac{4}{3}\alpha .\end{array} \right.\]
Với \[\beta = 0\], ta chọn \[\alpha = 1\], ta được tiếp tuyến thứ nhất : \[x-1=0.\]
Với \[\beta = \dfrac{4}{3}\alpha \], ta chọn \[\alpha = 3, \beta = 4\], ta được tiếp tuyến thứ hai: \[3x+4y-15=0.\]
LG c
Gọi \[T_1, T_2\]là các tiếp điểm ở câu b], tính diện tích tam giác \[AT_1T_2\].
Lời giải chi tiết:
Từ câu b], giải hệ để tìm ra tọa độ tiếp điểm \[T_1, T_2\]của các đường tiếp tuyến với \[[C]\]. Tính góc giữa hai đường tiếp tuyến . Từ đó tính diện tích của tam giác \[AT_1T_2\].