Đề bài
Bạn Nam đã giảibất phương trình
\[\sqrt {{{\rm{x}}^2} - 1} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\] [1]
Như sau :
Điều kiện :
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {{\rm{x}} - 1} \right]\left[ {{\rm{x}} + 1} \right] \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{x}} \ge 1.\]
Khi đó bất phương trình [1] có dạng
\[\sqrt {\left[ {{\rm{x}} - 1} \right]\left[ {{\rm{x}} + 1} \right]} - \sqrt {{\rm{x}} + 1} \ge x + 1\]
Chia hai vế cho \[\sqrt {{\rm{x}} + 1} > 0,\] ta có
\[\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 \ge \sqrt {{\rm{x}} + {\rm{1}}} \]
Vì x 1 nên \[\sqrt {{\rm{x}} - 1} < \sqrt {{\rm{x}} + 1} ,\] do đó \[\sqrt {{\rm{x}} - 1} - 1 < \sqrt {{\rm{x}} + 1} \]
Vậy bất phương trình [1] vô nghiệm.
Theo em, bạn Nam giảiđúng hay sai, vì sao ?
Lời giải chi tiết
Nhận thấy rằng \[x = -1\] là nghiệm của bất phương trình [1]. Do đó bạn Nam giảisai. Sai lầm của bạn Nam ở chỗ :
Từ \[\left[ I \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {II} \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 \ge 0}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right.\]
[thấy ngay \[x = -1\] là nghiệm của [I] nhưng không là nghiệm của [II]].
Suy luận đúng là
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \ge 0}\\{A \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {\rm{A}} = 0\] hoặc \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{B \ge 0}\\{A > 0}\end{array}} \right.\]