- LG a
- LG b
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
LG a
\[f\left[ {\rm{x}} \right] = {x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}}\]
Lời giải chi tiết:
\[{x^2} + \dfrac{{16}}{{{x^2}}} \ge 2\sqrt {{{x}^2}.\dfrac{{16}}{{{x^2}}}} = 8.\] Đẳng thức xảy ra khi \[x = ±2.\]-
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[f[x]\] là 8 khi \[x = ±2.\]
LG b
\[g\left[ {\rm{x}} \right] = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{1 - x}}\] với \[0 < x < 1.\]
Lời giải chi tiết:
Do \[0 < x < 1\] nên \[1 x > 0.\]
Ta có
\[\eqalign{& {1 \over x} = {{1 - x} \over x} + 1; \cr& {2 \over {1 - x}} = {{2x} \over {1 - x}} + 2; \cr & {1 \over x} + {2 \over {1 - x}} \cr & = {{1 - x} \over x} + {{2x} \over {1 - x}} + 3 \ge 2\sqrt {{{1 - x} \over x}.{{2x} \over {1 - x}}} + 3 \cr & = 2\sqrt 2 + 3 \cr} \]
Đẳng thức xảy ra khi \[\dfrac{{1 - x}}{x} = \dfrac{{2x}}{{1 - x}}\] và \[0 < x < 1\] tức là \[x = - 1 + \sqrt 2 .\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[g[x]\] là \[2\sqrt 2 + 3\] khi \[x = - 1 + \sqrt 2 \]