Đề bài
Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh bằng a. Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD, DB sao choAM = DN = x\[\left[ {0 < x < a\sqrt 2 } \right]\].
a] Chứng minh rằng khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b] Chứng minh rằng khi \[x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\] thì MN // AC.
Lời giải chi tiết
[h.104]
a] Sử dụng định lí Ta-lét
Gọi [P] là mặt phẳng qua AD và song song với mp[ADCB] [có [P] vì AD // AD].
Gọi [Q] là mặt phẳng qua M và song song với mp[ADCB. Giả sử [Q] cắt DB tại N.
Theo định lí Ta-lét ta có:
\[{{AM} \over {AD'}} = {{DN'} \over {DB}}\,\,\,\,[*]\]
Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên:
\[AD' = DB = a\sqrt 2 \]
Từ [*], ta có AM = DN
\[ \Rightarrow \] DN = DN
\[ \Rightarrow \] N \[ \equiv \] N
\[ \Rightarrow \] MN \[ \subset \] [Q]
Mà [Q] // [ADCB] suy ra MN luôn song song với mặt phẳng cố định [ADCB]
Sử dụng định lí Ta-lét đảo.
Từ giả thiết ta có: \[{{AM} \over {DN}} = {{MD'} \over {NB}} = {{AD'} \over {DB}}\]
Suy ra AD, MN và DB luôn song song với một mặt phẳng [định lí Ta-lét đảo]. Vậy MN luôn song song với một mặt phẳng [P], mà [P] song song với AD và DB. Có thể chọn mặt phẳng này chính là mp[ADCB].
b] Gọi O là giao điểm của DB và AC. Ta có
\[DN = x = {{a\sqrt 2 } \over 3},DO = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
\[ \Rightarrow DN = {2 \over 3}DO\]
Suy ra N là trọng tâm tam giác ADC
Chứng minh tương tự, ta có M là trọng tâm tam giác AAD. Vậy CN và AM cắt nhau tại I là trung điểm của AD. Ta có:
\[{{IM} \over {IA'}} = {{IN} \over {IC}} = {1 \over 3} \Rightarrow MN//A'C\]