Đề bài
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng:
a] Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
b] Tứ giác MNEF là hình thoi.
c] Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng quy [O là giao điểm của AC và BD].
Lời giải chi tiết
Gọi M, N, E, F lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng SM và AB, SN và BC, SE và CD, SF và DA. Khi đó M, N, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA.
Vì M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC nên:
\[{{SM} \over {SM'}} = {{SN} \over {SN'}} = {2 \over 3} \]
\[\Rightarrow MN// M'N'\]và \[MN = {2 \over 3}M'N'\] [1]
Chứng minh tương tự, ta có:
\[EF//E'F'\,\,\text{và}\,\,EF = {2 \over 3}\]E'F' [2]
NE // NE và \[NE = {2 \over 3}N'F'\,\,[3]\]
MF // MF và \[MF = {2 \over 3}M'F'\,\,\,[4]\]
a] MN là đường trung bình của tam giác BAC suy ra:
MN//AC và \[M'N' = {1 \over 2}AC\,\,\,[5]\]
Tương tự:EF // AC và \[E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,[6]\]
Từ [5] và [6] suy ra MN //EF và \[M'N' = E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,[7]\]
Từ [1], [2], [7] suy ra MN // EF. Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
b] Lí luận tương tự như câu a], ta suy ra:
NE // MF và \[N'E' = M'F' = {1 \over 2}BD.\]
Từ [1], [2], [3], [4], [7], [8] và AC = BD suy ra:
\[MN = NE = EF = FM = {1 \over 3}AC.\]
Vậy tứ giác MNEF là một hình thoi.
c] Dễ thấy O cũng là giao điểm của ME và NF. Xét ba mặt phẳng [MSE], [NSF] và [MNEF]. Ta có:
\[\eqalign{
& \left[ {M'SE'} \right] \cap \left[ {N'SF'} \right] = SO \cr
& \left[ {M'SE'} \right] \cap \left[ {MNEF} \right] = ME \cr
& \left[ {N'SF'} \right] \cap \left[ {MNEF} \right] = NF \cr
& ME \cap NF = I \cr} \]
Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SO, ME và NF đồng quy.