Cho hai đường tròn [O] và [O] cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt [O] ở A và M, cắt [O] tại A và M. Gọi P và Plần lượt là trung điểm của AM và AM.
Đề bài
Cho hai đường tròn [O] và [O] cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi qua A cắt [O] ở A và M, cắt [O] tại A và M. Gọi P và Plần lượt là trung điểm của AM và AM.
a] Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng PP.
b] Tìm quỹ tích trung điểm J của đoạn thẳng MM.
Lời giải chi tiết
a] Gọi Q là trung điểm của OOthì QI\[\bot \]IA. Suy ra quỹ tích I là đường tròn đường kính AQ.
b] Vì J là trung điểm MMnên
\[\overrightarrow {AJ} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AM'} } \right]\]
\[ = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {AP'} = 2\overrightarrow {AI} \]
Vậy phép vị tự tâm A tỉ số 2 biến điểm I thành điểm J. Do đó, quỹ tích J là ảnh của đường tròn đường kính AQ qua phép vị tự đó.