Cho elip [E] với hai tiêu điểm \[{F_1}\] và \[{F_2}\] . Gọi M là một điểm nằm trên [E] nhưng không nằm trên đường thẳng \[{F_1}{F_2}\] và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác\[M{F_1}{F_2}\].
Đề bài
Cho elip [E] với hai tiêu điểm \[{F_1}\] và \[{F_2}\] . Gọi M là một điểm nằm trên [E] nhưng không nằm trên đường thẳng \[{F_1}{F_2}\] và m là phân giác ngoài tại đỉnh M của tam giác\[M{F_1}{F_2}\].
Chứng minh rằng m chỉ cắt [E] tại điểm M duy nhất [đường thẳng m như thế được gọi là tiếp tuyến của [E] tại điểm M].
Lời giải chi tiết
Giả sử elip [E] có trục lớn là 2a, tức là điểm M nằm trên [E] khi và chỉ khi:
\[M{F_1} + M{F_2} = 2a\]
Theo chứng minh bài tập 24, nếu M nằm trên phân giác m thì:
\[M'{F_1} + M'{F_2} \ge M{F_1} + M{F_2} = 2a.\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng M. Vậy nếu M khác M thì M không nằm trên [E].
Từ đó, suy ra m cắt [E] tại điểm duy nhất M.