Đề bài
Xét dãy số\[[{u_n}]\] xác định bởi \[{u_1} = a\] và \[{u_{n + 1}} = {{12} \over {{u_n}}}\] với mọi \[n \ge 1,\] trong đó a là một số thực khác 0.
Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dãy số \[[{u_n}]\] là một cấp số nhân.
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết \[a \ne 0\] dễ dàng suy ra \[{u_n} \ne 0\] với mọi \[n \ge 1.\]
Từ hệ thức xác định dãy số \[[{u_n}]\] suy ra tất cả các số hạng của dãy số đó có cùng một loại dấu.
Giả sử \[[{u_n}]\] là một cấp số nhân. Khi đó, tồn tại một hằng số \[q > 0\] sao cho
\[{u_{n + 1}} = {u_n}.q\] với mọi \[n \ge 1\] [1]
Từ [1] và hệ thức xác định dãy số \[[{u_n}]\] suy ra
\[u_n^2 = {{12} \over q}\] với mọi \[n \ge 1\] [2]
Xét hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: \[a > 0.\] Khi đó, ta có \[{u_n} > 0\] với mọi \[n \ge 1.\] Vì thế, từ [2] ta được
\[{u_n} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\] với mọi \[n \ge 1.\]
Hay \[[{u_n}]\] là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \[{u_2} = a\] hay \[{{12} \over a} = a.\] Dẫn tới \[a = 2\sqrt 3 \]
- Trường hợp 2: \[a < 0.\] Khi đó, ta có \[{u_n} < 0\] với mọi \[n \ge 1.\] Vì thế, từ [2] ta được
\[{u_n} = - {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt q }}\] với mọi \[n \ge 1.\]
Hay \[[{u_n}]\] là một dãy số không đổi. Do vậy, phải có \[{u_2} = a\] hay \[{{12} \over a} = a.\] Dẫn tới \[a = - 2\sqrt 3 \]
Ngược lại:
- Với \[a = 2\sqrt 3 \] dễ dàng chứng minh được \[{u_n} = 2\sqrt 3 \] với mọi \[n \ge 1.\] Do đó, dãy số \[[{u_n}]\] là một cấp số nhân với công bộ \[q = 1\]
- Với \[a = - 2\sqrt 3 \] dễ dàng chứng minh được \[{u_n} = - 2\sqrt 3 \] với mọi \[n \ge 1.\] Do đó, dãy số \[[{u_n}]\] là một cấp số nhân với công bộ \[q = 1\]
Tóm lại, tất cả các giá trị a cần tìm là \[a = 2\sqrt 3 \] và \[a = - 2\sqrt 3 \].