- LG a
- LG b
Cho dãy số\[[{u_n}]\] xác định bởi
\[{u_1} = 1\] và \[{u_{n + 1}} = {u_n} + n\] với mọi \[n \ge 1.\]
Xét dãy số \[[{v_n}],\] mà \[{v_{n }} = {u_{n + 1}} - {u_n}\] với mọi \[n \ge 1.\]
LG a
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \[[{v_n}]\] bằng \[{u_{N + 1}} - {u_1}.\]
Lời giải chi tiết:
Kí hiệu \[{S_N}\] là tổng N số hạng đầu tiên của dãy số \[[{v_n}]\]. Ta sẽ chứng minh
\[{S_N} = {u_{N + 1}} - {u_1}\,\,\,\,\,[1]\]
Với mọi \[N \ge 1,\] bằng phương pháp quy nạp.
Với \[N = 1\] , ta có \[{S_1} = {v_1} = {u_2} - {u_1}.\] Như vậy, [1] đúng khi \[N = 1.\]
Giả sử đã có [1] đúng khi \[N = k,k \in {N^ * },\] Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \[N = k + 1.\]
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp và định nghĩa dãy số \[[{v_n}]\] ta có
\[{S_{k + 1}} = {S_k} + {v_{k + 1}} = \left[ {{u_{k + 1}} - {u_1}} \right] \\+ \left[ {{u_{k + 2}} - {u_{k + 1}}} \right]\, \]
\[= {u_{k + 2}} - {u_1}.\]
Từ các chứng minh trên suy ra [1] đúng với mọi \[N \ge 1.\]
LG b
Chứng minh rằng dãy số \[[{v_n}]\] là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Lời giải chi tiết:
Từ định nghĩa dãy số \[[{v_n}]\] và hệ thức xác định dãy số \[[{u_n}]\], ta có \[{v_n} = n\] với mọi \[n \ge 1.\] Do đó \[{v_{n + 1}} - {v_n} = \left[ {n + 1} \right] - n\, = 1\] với mọi \[n \ge 1.\] Vì thế, dãy số \[[{v_n}]\] là một cấp số cộng với số hạng đầu \[{v_1} = 1\] và công sai bằng 1.