Đề bài
Cho hình thang vuông ABCD có \[\widehat A = \widehat D = {90^0}\] , \[AB = 2{\rm{a}},C{\rm{D}} = a,A{\rm{D}} = 3{\rm{a}}\] M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng AD.
a] Xác định vị trí điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau.
b] Gọi S là điểm thuộc đường thẳng vuông góc với mp[ABC] kẻ từ điểm M sao cho SM = AM. Xét mặt phẳng [P] đi qua M và vuông góc với SA. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi [P] là hình gì? Tính diện tích thiết diện thu được theo a và x, ở đây \[x = AM\left[ {0 < x \le 3{\rm{a}}} \right]\].
Lời giải chi tiết
a] Đặt \[AM = x\] thì \[DM=3a-x\].
Dễ thấy \[BC = a\sqrt {10} \]
\[\eqalign{ & M{B^2} = 4{{\rm{a}}^2} + {x^2} \cr & M{C^2} = {a^2} + {\left[ {3{\rm{a}} - x} \right]^2} \cr} \]
Hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau khi và chỉ khi
\[\eqalign{ & B{C^2} = M{B^2} + M{C^2} \cr & \Leftrightarrow 10{a^2} = 2{{\rm{x}}^2} + 14{a^2} - 6ax \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3ax + 2{a^2} = 0 \cr & \Rightarrow x = a,x = 2a \cr} \]
Vậy có hai vị trí của M để MB và MC vuông góc với nhau.
b] Vì \[SM \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right],AB \bot MA\] nên \[AB \bot SA\] [định lí ba đường vuông góc]. Mặt khác \[\left[ P \right] \bot SA\] nên [P] // AB.
Do MA = MS, [P] đi qua M và \[\left[ P \right] \bot SA\] nên [P] cắt SA tại trung điểm A1của SA. Từ đó [P] cắt [SAB] theo giao tuyến A1B1với A1B1// AB; [P] cắt [ABCD] theo giao tuyến MN song song với AB. Như vậy, thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp[P] là hình thang vuông M A1B1N [tứ giác M A1B1N là hình thang vuông MN // A1B1, ngoài ta \[AB \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\] nên \[{A_1}{B_1} \bot \left[ {SA{\rm{D}}} \right]\], tức là \[{A_1}{B_1} \bot M{A_1}\]]
\[\eqalign{ & {S_{M{A_1}{B_1}N}} = {1 \over 2}\left[ {{A_1}{B_1} + MN} \right].{A_1}M \cr & {A_1}{B_1} = {1 \over 2}AB = a,{A_1}M = {1 \over 2}SA = {{x\sqrt 2 } \over 2} \cr} \]
Gọi I là giao điểm của AD và BC thì IA = 6a. Ta có
\[\eqalign{ & {{MN} \over {AB}} = {{IM} \over {IA}} \Leftrightarrow {{MN} \over {2{\rm{a}}}} = {{6{\rm{a}} - x} \over {6{\rm{a}}}} \cr & \Rightarrow MN = {{6a - x} \over 3} \cr} \]
Vậy
\[\eqalign{ & {S_{M{A_1}{B_1}N}} = {1 \over 2}\left[ {a + {{6{\rm{a}} - x} \over 3}} \right].{{x\sqrt 2 } \over 2} \cr & = {{\sqrt 2 \left[ {9{\rm{a}} - x} \right]x} \over {12}}\,\left[ {voi\,0 < x \le 3{\rm{a}}} \right] \cr} \].