Đề bài
Cho tam giác\[ABC\]có\[AB < AC.\]Trên tia đối của tia\[BC\]lấy điểm\[M\]sao cho\[BM = BA.\]Trên tia đối của tia\[CB\]lấy điểm\[N\]sao cho\[CN = CA.\]
a] Hãy so sánh các góc\[AMB\]và\[ANC.\]
b] Hãy so sánh các độ dài\[AM\]và\[AN.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Trong một tam giác, đốidiện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn,đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
+] Tính chất tam giác cân
Lời giải chi tiết
Trong\[ABC\]có\[AC > AB\]
\[ \Rightarrow \]\[\widehat {ABC} > \widehat {ACB}\][đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn] [1]
Ta có:\[AB = BM\][gt]
\[ \Rightarrow ABM\]cân tại\[B\]
\[ \Rightarrow \]\[\widehat M = \widehat {{A_1}}\][tính chất tam giác cân]
Trong\[ABM\]ta có có góc ngoài tại đỉnh\[B\] nên \[\widehat {ABC} = \widehat M + \widehat {{A_1}}\]
Suy ra: \[\displaystyle \widehat M = {1 \over 2}\widehat {ABC}\] [2]
Ta có: \[AC = CN\][gt]
\[ \Rightarrow CAN\]cân tại\[C\]
\[ \Rightarrow \]\[\widehat N = \widehat {{A_2}}\][tính chất tam giác cân]
Trong\[CAN\]ta có \[\widehat {ACB}\]là góc ngoài tại đỉnh\[C.\]
\[ \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat N + \widehat {{A_2}}\]
Suy ra: \[\displaystyle \widehat N = {1 \over 2}\widehat {ACB}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat M > \widehat N\]
b] Trong\[AMN\]ta có:\[\widehat M > \widehat N\]
Suy ra:\[AN > AM\][đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn]