Đề bài
Tính góc \[A\]của tam giác\[ABC\]biết rằng các đường phân giác\[BD, CE\]cắt nhau tại\[I\]trong đó góc\[BIC\]bằng:
a]\[120°\]
b]\[\alpha \,[\alpha > 90°]\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^0.\]
+] Tính chất tia phân giác của một góc.
Lời giải chi tiết
a] Trong \[BIC\]ta có: \[\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \][tổng 3 góc trong tam giác]
\[\Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC}\]\[ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Lại có:
\[\displaystyle \widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\][vì\[BD\]là tia phân giác góc \[ABC\]]
\[\displaystyle \widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\][vì\[CE\]là tia phân giác góc \[ACB\]]
\[\Rightarrow \widehat B + \widehat C = 2\left[ {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right]\]\[= 2.60^\circ = 120^\circ \]
Trong\[ABC\]ta có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \][tổng ba góc trong tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - [\widehat B + \widehat C]\]\[= 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
b] Tương tự ta có:
Xét tam giác \[BIC\] thì \[\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC}\]\[= {180^o} - \alpha \]
Lại có:
\[\displaystyle \widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\][vì\[BD\]là tia phân giác góc \[ABC\]]
\[\displaystyle \widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\][vì\[CE\]là tia phân giác góc \[ACB\]]
Suy ra: \[ \widehat B + \widehat C = 2\left[ {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right]\]\[= 2.\left[ {{{180}^o} - \alpha } \right] = {360^o} - 2\alpha \]
Xét tam giác \[ABC\] ta có:
\[ \widehat A = {180^o} - \left[ {\widehat B + \widehat C} \right] \]\[= {180^o} - \left[ {{{360}^o} - 2\alpha } \right] \]
\[= {180^o} - {360^o} + 2\alpha \]
\[= 2\alpha - {180^o} \]