Đề bài
Vì sao khi phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]có các hệ số \[a\] và \[c\] trái dấu thì nó có nghiệm?
Áp dụng. Không tính \[\], hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:
a]\[3{x^2} - x - 8 = 0\]
b]\[2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\]
c]\[3\sqrt 2 {x^2} + \left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]x + \sqrt 2 - \sqrt 3 \]\[\,= 0\]
d]\[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Tích hai số trái dấu là một số âm.
Đánh giá để có \[\Delta >0\]
Lời giải chi tiết
Phương trình\[a{x^2} + bx + c = 0\]
\[a\] và \[c\] trái dấu \[ \Leftrightarrow ac < 0\]
\[ \Leftrightarrow - ac > 0\Leftrightarrow - 4ac > 0\]
\[\Delta = {b^2} - 4ac\]
Ta có \[{b^2} \ge 0\];\[- 4ac > 0\] \[ \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0\]
\[\Rightarrow \Delta = {b^2} - 4ac > 0\], phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng:
a]\[3{x^2} - x - 8 = 0\]
Có \[a = 3; c = -8 ac < 0\]. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b]\[2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\]
Có \[a = 2004; c = - 1185\sqrt 5 \] \[ ac < 0\]. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c]\[3\sqrt 2 {x^2} + \left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]x + \sqrt 2 - \sqrt 3 \]\[\,= 0\]
Có \[a = 3\sqrt 2 > 0;c = \sqrt 2 - \sqrt 3 < 0\][vì \[\sqrt 2 < \sqrt 3 \]]
\[ ac < 0\], phương trình có hai nghiệm phân biệt.
d]\[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\]
- Nếu \[m = 0\] phương trình có dạng \[2010{x^2} + 5x = 0\]
\[ \Leftrightarrow 5x\left[ {402x + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - \dfrac{1}{{402}}
\end{array} \right.\]
Hay phương trình có \[2\] nghiệm là \[x=0\] và \[x = \dfrac{{ - 1}}{{402}}\].
- Nếu\[m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow - {m^2} < 0\]
\[a = 2010 > 0;c = - {m^2} < 0\] \[ \Rightarrow ac < 0.\]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Vậy với mọi \[m \mathbb R\] thì phương trình \[2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\]luôn có hai nghiệm phân biệt.