Đề bài
Cho hình vuông \[ABCD\] cạnh \[y [cm]\]. Điểm \[E\] thuộc cạnh \[AB\]. Điểm \[G\] thuộc tia \[AD\] sao cho \[AG = AD +\displaystyle {3 \over 2}EB.\] Dựng hình chữ nhật \[GAEF.\]
Đặt \[EB = 2x [cm]\]. Tính \[x\] và \[y\] để diện tích của hình chữ nhật bằng diện tích hình vuông và ngũ giác \[ABCFG\] có chu vi bằng \[100 + 4\sqrt {13}[cm] \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: \[S=a.b\]
Trong đó \[S\]là diện tích, \[a\]là chiều dài, \[b\]là chiều rộng của hình chữ nhật.
- Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: \[S={a^2}\]
- Định lý Pytago: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết ta có: \[EB = 2x [cm]\]
Điều kiện: \[y > 2x > 0\]
\[AE = AB EB = y 2x [cm]\]
\[AG = AD + DG\]\[= y +\displaystyle {3 \over 2}EB \\ = y + \displaystyle{3 \over 2}.2x = y + 3x[cm]\]
Diện tích hình chữ nhật \[GAEF\] bằng diện tích hình vuông \[ABCD\] nênta có phương trình:
\[\left[ {y - 2x} \right]\left[ {y + 3x} \right] = {y^2}\]
Mặt khác theo định lí Pitago ta có:
\[FC = \sqrt {E{B^2} + D{G^2}} \\ = \sqrt {4{x^2} + 9{x^2}} = x\sqrt {13} [cm]\]
Chu vi của ngũ giác \[ABCFG\] bằng:
\[\eqalign{
& AB + BC + CF + FG + GA \cr
& = y + y + x\sqrt {13} + y - 2x + 3x + y \cr
& = x\left[ {1 + \sqrt {13} } \right] + 4y \cr} \]
Chu vi ngũ giác\[ABCFG\] bằng \[100 + 4\sqrt {13} [cm]\] nên ta có phương trình:
\[x\left[ {1 + \sqrt {13} } \right] + 4y = 100 + 4\sqrt {13} \]
Ta có hệ phương trình:
Giá trị \[x = 4\] và \[y = 24\] thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy \[x = 4 [cm]; y = 24 [cm].\]