Đề bài
Cho đường tròn tâm \[O\] bán kính \[R.\] Lấy ba điểm bất kỳ \[A, B, C\] trên đường tròn \[[O].\] Điểm \[E\] bất kỳ thuôc đoạn thẳng \[AB\] [và không trùng với \[A, B\]]. Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[E\] và vuông góc với đường thẳng \[OA\] cắt đoạn thẳng \[AC\] tại điểm \[F.\] Chứng minh \[\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^o}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
+] Nếu một đường thẳng cùng vuông góc với hai đường thẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
+] Trong một đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+] Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau.
+] Tổng các góc trong một tứ giác bằng \[360^o.\]
Lời giải chi tiết
Kẻ tiếp tuyến \[At\] của đường tròn \[[O]\]
Suy ra: \[At \bot OA\] [tính chất tiếp tuyến]
Mà \[EF \bot OA\] \[[gt]\]
Do đó: \[At // EF\]
Nên \[\widehat {EFA} = \widehat {CAt}\] [so le trong]
Lại có: \[\widehat {CBA} = \widehat {CAt}\] [hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung]
Suy ra: \[\widehat {EFA} = \widehat {CBA}\] hay \[\widehat {EFA} = \widehat {CBE}\]
Mà \[\widehat {EFA} + \widehat {EFC} = {180^o}\] [hai góc kề bù]
Nên \[\widehat{CBE} + \widehat{EFC} =180^o \;\; [1]\]
Trong tứ giác \[BCFE\] ta có:
\[\widehat{BCF} +\widehat{BEF} + \widehat{CBE} +\widehat{CFE} =360^o\] [tổng các góc trong tứ giác]\[ [2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^o}\]