Đề bài
Cho đường tròn đường kính \[AB.\] Qua \[A\] và \[B\] kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi \[M\] là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng \[AM\] và \[BM\] cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại \[B\] và \[A.\]
\[a]\] Chứng minh rằng \[{\rm{AA}}'.BB' = A{B^2}\]
\[b]\] Chứng minh rằng \[A'{A^2} = A'M.A'B\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Nếu hai tam giác đồng dạng ta suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.
+] Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
+] Trong tam giác vuông, bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Xét \[AA'B\] và \[BB'A:\]
\[\widehat {A'AB} = \widehat {B'BA} = {90^0}\]
\[\widehat {BB'A} = \widehat {ABA'}\] [vì cùng phụ với \[\widehat {BAB'}\]]
Suy ra: \[AA'B\] đồng dạng \[BAB'\; [g.g]\]
\[\displaystyle {{AA'} \over {BA}} = {{AB} \over {BB}} \Rightarrow AA'.BB' = A{B^2}\]
\[b]\] \[\widehat {AMB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
\[ \Rightarrow AM \bot A'B\]
\[AA'B\] vuông tại \[A.\] Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
\[AA{'^2} = A'M.A'B\]