Đề bài
\[a]\] Hình thang cân \[ABCD\] có đáy nhỏ \[AB = b,\] đáy lớn \[CD = a,\] đường cao \[AH.\]Chứng minh rằng \[HD=\dfrac{a-b}{2},\] \[HC=\dfrac{a+b}{2},\] [\[a\] và \[b\] có cùng đơn vị đo]
\[b]\] Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy \[10cm,\] \[26cm\] và cạnh bên \[17cm.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
+] Sử dụng định lí: Py-ta-go
Lời giải chi tiết
\[a]\] Kẻ đường cao \[BK\]
Xét hai tam giác vuông \[AHD\] và \[BKC,\] ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {BKC} = {90^0}\]
\[AD = BC\] [tính chất hình thang cân]
\[\widehat D = \widehat C\] [do ABCD là hình thang cân có đáy AB, CD]
Do đó: \[ AHD = BKC\] [cạnh huyền- góc nhọn]
\[ HD = KC\]
Vì ABCD là hình thang có hai đáy AB, CD nên \[AB//CD\] hay \[AB//HK\]. Suy ra \[ABHK\] là hình thang.
Ta có: \[AH//BK\] [cùng vuông góc với \[CD\]]
Hình thang \[ABKH\] có hai cạnh bên \[AH,\;BK\] song song nên \[AB = HK\]
\[ab = DC AB = DC HK\]\[ = HD + KC = 2HD\]
\[ \Rightarrow HD =\displaystyle {{a - b} \over 2}\]
\[HC = DC-HD = a - \displaystyle{{a - b} \over 2}\]\[ = \displaystyle{{a + b} \over 2}\]
\[ b]\] \[HD = \displaystyle{{CD - AB} \over 2}\]\[ = \displaystyle{{26 - 10} \over 2} = 8\left[ {cm} \right]\]
Trong tam giác vuông \[AHD\] có \[\widehat {AHD} = {90^0}\]
\[A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}\][định lí Py-ta-go]
\[\eqalign{
& \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - H{D^2} \cr
& \Rightarrow A{H^2} = {17^2} - {8^2} = 289 - 64 = 225 \cr
& \Rightarrow AH = 15[cm] \cr} \]