Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD.\] Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh \[A\] và \[C\] bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh \[B\] và \[D.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Tổng bốn góc của một tứ giác bằng \[360^o.\]
+] Góc ngoài của tứ giác là góc kề bù với một góc của tứ giác.
Lời giải chi tiết
Gọi \[\widehat {{A_1}},\;\widehat {{C_1}}\]là góc trong của tứ giác tại đỉnh \[A\] và \[C.\]
Gọi \[{\widehat A_2},{\widehat C_2}\]là góc ngoài tại đỉnh \[A\] và \[C.\]
Ta có: \[{\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {180^0}\][\[2\] góc kề bù]
\[\Rightarrow {\widehat A_2} = {180^0} - {\widehat A_1}\]
\[{\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {180^0}\] [\[2\] góc kề bù]
\[ \Rightarrow {\widehat C_2} = {180^0} - {\widehat C_1}\]
Suy ra:
\[\eqalign{
& {\widehat A_2} + {\widehat C_2} = {180^0} - {\widehat A_1} + {180^0} - {\widehat C_1} \cr
& = {360^0} - \left[ {{{\widehat A}_1} + {{\widehat C}_1}} \right] [1] \cr}\]
Trong tứ giác \[ABCD\] ta có:
\[{\widehat A_1} + \widehat B + {\widehat C_1} + \widehat D = {360^0}\][tổng các góc của tứ giác]
\[\Rightarrow \widehat B + \widehat D = {360^0} - \left[ {{{\widehat A}_1} + {{\widehat C}_1}} \right][2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra: \[{\widehat A_2} + {\widehat C_2} = \widehat B + \widehat D\]