Đề bài
Cho góc \[xOy\] và điểm \[A\] nằm trong góc đó.
\[a]\] Vẽ điểm \[B\] đối xứng với \[O\] qua \[A.\] Qua \[B\] kẻ đường thẳng song song với \[Ox,\] cắt \[Oy\] ở \[C.\] Gọi \[D\] là giao điểm của \[CA\] và \[Ox.\] Chứng minh rằng các điểm \[C\] và \[D\] đối xứng với nhau qua điểm \[A.\]
\[b]\] Từ đó suy ra cách dựng đường thẳng đi qua \[A,\] cắt \[Ox,\] \[Oy\] ở \[D,\] \[C\] sao cho \[A\] là trung điểm của \[CD.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \[O\] nếu \[O\] là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
Bài toán dựng hình
+] Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.
+] Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Xét \[ OAD\] và \[ BAC:\]
\[OA = AB\] [tính chất đối xứng tâm]
\[{\widehat A_1} = {\widehat A_2}\] [đối đỉnh]
\[{\widehat O_1} = {\widehat {CBO}}\] [so le trong]
Do đó: \[ OAD = BAC \;\;[g.c.g]\]
\[ AD = AC\]
Suy ra: \[C\] đối xứng với \[D\] qua tâm \[A.\]
\[b]\] Cách dựng :
- Dựng \[B\] đối xứng với \[O\] qua tâm \[A\]
- Qua \[B\] dựng đường thẳng song song với \[Ox\] cắt \[Oy\] tại \[C.\]
- Dựng tia \[CA\] cắt \[Ox\] tại \[D.\]
Ta có \[D\] là điểm cần dựng.
Chứng minh : như câu \[a]\]
Xét \[ OAD\] và \[ BAC:\]
\[OA = AB\] [tính chất đối xứng tâm]
\[{\widehat A_1} = {\widehat A_2}\] [đối đỉnh]
\[{\widehat O_1} = {\widehat {CBO}}\] [so le trong]
Do đó: \[ OAD = BAC \;\;[g.c.g]\]
\[ AD = AC\]
Suy ra: \[C\] đối xứng với \[D\] qua tâm \[A.\]