Các dạng viết phương trình đường thẳng toán 10 năm 2024
|
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng Quảng cáo Định nghĩa : vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{u}\) ≠ \(\vec{0}\) và giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với \(∆\) Nhận xét : - Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) thì \(k\vec{u} ( k≠ 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(∆\) , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương. - Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 2. Phương trình tham số của đường thẳng - Phương trình tham số của đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và nhận vectơ \(\vec{u} = (u_1; u_2)\) làm vectơ chỉ phương là : \(∆\) : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\) -Khi \(u_1≠ 0\) thì tỉ số \(k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\) được gọi là hệ số góc của đường thẳng. Từ đây, ta có phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và có hệ số góc k là: \(y – y_0 = k(x – x_0)\) Chú ý: Ta đã biết hệ số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng \(∆\) hợp với chiều dương của trục \(Ox\) 3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ \(\vec{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) nếu \(\vec{n}\) ≠ \(\vec{0}\) và \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\) Nhận xét: - Nếu \(\vec{n}\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) thì k\(\vec{n}\) \((k ≠ 0)\) cũng là một vectơ pháp tuyến của \(∆\), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến. - Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó. 4. Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) không đồng thời bằng \(0\), được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Trường hợp đặc biết: + Nếu \(a = 0 => y = \dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox\) hoặc trùng Ox (khi c=0) + Nếu \(b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\) hoặc trùng Oy (khi c=0) + Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 => ∆\) đi qua gốc tọa độ + Nếu \(∆\) cắt \(Ox\) tại \(A(a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B (0; b)\) thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(∆\) : \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có phương trình tổng quát lần lượt là : a1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0 Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ hai phương trình: (1) \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\) Ta có các trường hợp sau:
6.Góc giữa hai đường thẳng Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900. Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00. Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900 Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\) Cho hai đường thẳng: ∆1: a1x+b1y + c1 = 0 ∆2: a2x+b2y + c2 = 0 Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\) \(\cos \varphi\) = \(\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}{2}+{b_{1}}{2}}\sqrt{{a_{2}}{2}+{b_{2}}{2}}}\) Chú ý: + \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\) \( \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\) + Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1\) 7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)). |
