Các dạng toán cao cấp về giới hạn

KHÓA: GIẢI TÍCH 1 – KHỐI KỸ THUẬT

CHƯƠNG 01: DÃY SỐBÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ

Bài 1: Tìm giới hạn của các dãy số với số hạng tổng quát như sau:

( 1)

( 1)

n

n n

n x n

+−

−−

Lời giải:

( )

( )

1

( 1) 1 1 / lim lim lim ( 1) 1 1 /

n n

n n n n n n

n n x → → n → n

+− +− = = = −− −−

2

2

57

7 2 6

n

nn x nn

+−

−+

Lời giải:

22

22

5 7 5 1 / 7 / l 7

im lim lim 7 2 6 7 2 / 6 /

5

n n n n

n n n n x → → n n → n n

• − + − = = = − + − +

32

2

2 1 5

2 3 5 1

− =+ ++

n

nn x nn

Lời giải:

( )

3 2 3 2

22

2 1 5 2 3 3 15 lim lim lim 2 3 5 1 2 3 5 1 n n n n

n n n n n n n n x → → n n → n n

− + − + − + = + = +

• * + + 

22

1 3 1 1 / 3 / 1 lim lim 0 5 1 2 3 5 1 / 2 3 / 5

1

nn 5

n n n n

→ n n → n n

 ++   =  − =  − = − =  + +   + + 

1. 2 x n n nn = − −

Lời giải:

( )

( )

2 22 2 22

11 l 2

im lim lim lim 1 1 1 / 11

1

n n n n

n n n n n n n → → n n n → n n n → n

−− − − = = = = =

• − + − +− +
• 3 3 x n nn = + − 1

Lời giải: ( ) ( )

( )

( )

3 333 3333 2 2 333 3

1 lim 1 lim 1 lim

11

n n n

nn n n n n

n n n n

→ → →

−−

• − = − − =
• − + −

( )

2 2 333 3

0

1 lim

11

n n n n n

→

\==

• − + −
• 1

52

52

n xn n +

−

Lời giải:

1

11

5 2 5 / 2

2

1 / 2 1 / 2 lim lim 5 2 1 1

1

5 / 2

nn

nnnn

→ ++→

−− == ++

−

−

1. 11

( 2) 3

( 2) 3

nn xn nn ++

−+

−+

Lời giải:

( )

( )

11 1

2 / 3 / 3 1

3

( 2) 3 /3 1 / 3 lim lim ( 2) 3 2 1

1

/ 3 1

nn n

nn → nn ++→ n +

−+ −+ = = = −+ −+

. Ở đây đã sử dụng tính chất

với -1 < a < 1 (bài này là -2/3) thì an có giới hạn bằng 0 khi n ra vô cùng

23 sin −cos n =

nn x n

Lời giải:

23 sin cos 2 00 n

nn x nn

−  =  → khi lim n 0 n

nx →

→   = (nguyên lý kẹp)

−   xxxnnn mà lim nn →( )− = xxnn lim→ =  0 lim n → xn = 0 (lại theo nguyên lý kẹp)

cos

1

\= +

n

nn x n

Lời giải:

cos 1 / 00 1 1 1 1 /

n

n n n n x n n n

 =  = → + + +

khi lim n 0 n

nx →

→   = (nguyên lý

kẹp). Tương tự bài 1 từ đây có lim n 0 n

x →

\=

10) ( )

2 x n nn = − −1 .sin n

Lời giải: ( )

( )

2 22 22 22

1 1 0 1 .sin 1 0 11

n

nn x n n n n n n n n n

−−  = − −  − − = = →

• − + −

khi

lim n 0 n

nx →

→   = (nguyên lý kẹp). Cũng từ đây có lim n 0 n

x →

\=

1. 2

.sin!

1

n

nn x n

\= +

Lời giải: 2 2 2

.sin! 1 / 00 1 1 1 1 /

n

n n n n x n n n

 =  = → + + +

khi lim n 0 n

nx →

→   = (nguyên lý

kẹp). Suy ra lim n 0 n

x →

\=

1. 2

n n

n x =

Lời giải: ( )

( )

( )

0 1 2 2 1 2 1 1 ... 2 2 1 / 2

nnn n n n n n n n

nn nn C C C C C x nn

− = + = + + + +  =  =  −

( )

2 00 1 / 2 1

n

n x n n n

  = → −−

khi lim n 0 n

nx →

→   =

2

!

n xn n

\=

Lời giải:

( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 2 1

n

kk x k k k k k k n n

+− = = −  = + + +

• −

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2

1 1 1 2 2 3 n n 1 2 3 n n n 1

      = − + − + +     − = − + − + + − = − →      −−

khi n →

1. 2 2 2

1 1 1 1 1 ... 1 23

xn n

     = −  −   −      

Lời giải:

( )( )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 111 1 1 ... 1 ... ... 2 3 2 3 2 3 2

nnnn

n n n n

     − − − −+ +  −  −   − = = =     

từ

đó dãy số có giới hạn 1/

2 2 2

3

1 2 ... ( 1) n

n x n

• −

Lời giải: áp dụng kết quả trong câu (14)

2 2 2 ( ) ( 121 )

1 2 ... ( 1) 6

n n n n

−−

• − = thay vào

thì

( ) ( ) ( )( )

3 3

1 2 1 1 1 / 2 1 / 1.

6 6 6

1 n

n n n n n x n

− − − − = = → = khi n →

Bài 2: Xét sự hội tụ của các dãy sau có số hạng tổng quát như sau:

1. cos 4

####### 

n =

n x

Lời giải: khi n → thì:

8

8 cos cos 2 1 1 4

n

n x

####### 

####### = = = → và

( )

82

82 cos cos 2 0 0 42

n

n x

#######  

####### + 

•  = = + = → 

. Điều này

chứng tỏ hai dãy con có hai giới hạn khác. Vậy dãy không hội tụ.

1 xn =sin n

Lời giải: ta chứng minh sin(x) < x với x dương, gần 0 – bằng phương pháp hình học.

Thật vậy, vẽ vòng tròn đơn vị như

hình vẽ, góc x = AOB thì B thuộc góc

phần tư thứ nhất, và sin(x) = OH = BK

< BA < cung (BA) = x ta có đpcm.

Áp dụng:

11 0 xn sin 0 nn

 =  → khi n →, theo

nguyên lý kẹp thì xn hội tụ về 0

1 = − +( 1) sin

n xn n

Lời giải: Theo câu 2 thì

1 lim sin 0 n → n

\= , mặt khác lim( ) 1

n n →

− không tồn tại vì nó nhận giá

trị xen kẽ -1 và 1.

Ta chứng minh dãy đã cho không tồn tại giới hạn, thật vậy, giả sử tồn tại, khi đó:

11 lim( 1) lim sin lim lim sin n n n xxnnn n → → nn → →

 − = − = − 

, giới hạn này tồn tại, điều này mâu thuẫn.

Vậy dãy đã cho phân kỳ

1. xnn =sin

Lời giải: giả sử dãy đã cho sin(n) hội tụ, suy ra sin 2 n cũng hội tụ, suy ra cos 2 n hội tụ,

gọi giới hạn của sin(n) là a, cos 2 n là b (a, b hữu hạn)

( ) ( ( ) )

22 2 sin n + = 1 sin cos1 cos sin1 n + n cos n sin 1= sin n + − 1 sin cos1 n , cho n ra vô cùng

được: ( ) ( )

2222 b sin 1= − a a cos1 = − a 1 cos1 (1)

( ) ( ( ) )

22 2 sin n + = 2 sin cos 2 cos sin 2 n + n cos n sin 2= sin n + − 2 sin cos 2 n , lại cho n ra vô

cùng được: ( ) ( )

2222 b sin 2= − a a cos 2 = − a 1 cos 2 (2)

(1) và (2) cho thấy a và b đồng thời khác 0, khi đó chia hai đẳng thức thu được:

( )

( )

2 2

2 2

sin 2 1 cos 2

sin 1 1 cos

−

−

. Ta có thể kiểm tra điều này sai bằng máy tính, vậy điều giả sử là

sai hay dãy đã cho phân kỳ

Bài 3: Chứng minh rằng dãy số   un là một dãy số phân kỳ với:

1 1 1 1 ... 23

un = + + + + n

Lời giải: đặt 222

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... ... 2 3 2 3 1 2

vnnvn v n n n n n

 = + + +  = + + + = ++ + + ++ 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 ... 2 1 2 1

n n n

n n n n n n k k k

n v v v v v v kn kn kn n kn n k

− − −

\= = =

 = + + + +  + = + = + = + + + + +

   (1)

Giả sử dãy vn hội tụ, tức lim n n

va →

\= hữu hạn, thế thì cũng phải có lim 2 n n

va →

\= (a > 0 vì

dãy dương tăng). Ở (1) có 22 n n vv  cho n ra vô cùng được: aa  2 , điều này vô lí

Vậy dãy vn phân kỳ, suy ra dãy đã cho phân kỳ uvnn =+ 1

Bài 4: Chứng minh rằng:

1. lim 1 0 n n

aa →

\=  

Lời giải:

Với a > 1 1 n  = + ab , b > 0, suy ra