Các dạng bài tập về giới hạn và cách giải
|
Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm giới hạn dãy số đầy đủ mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết Show
Xem lời giải ####### Chuyên đề 1: Giới hạn hàm số
0 , 0 Cách làm: Áp dụng quy tắc L’Hospital Khi x → xo mà ( ) ( ) f x g x → → hoặc ( ) ( ) 0 0 f x g x → → \=> ( ) ( ) ( ) ( ) ' lim lim x xo x xo ' f x f x I →→ g x g x \== Ví dụ: 0 ( ) 0 1 lim lim 1 ln 1 1 1 x x x x x →→ \== + 0 0 1 2 lim lim x sin x cos x x →→ x x \== Câu 3 – N1 – GK20171 – Đề 1 ( ) 0 0 4 cos ln 1 4 sin 4 1 4 sin lim lim 3 1 3 ln 3 ln 3 x x x x x x x I →→
Câu 6 – N1 – GK20181 – Đề 2 3 4 2 3 2 0 0 0 0 3 4 6 12 6 24 lim lim lim lim 6 x sin x 1 cos x sin x cos x x x x x x x → x x → x → x → x
. Vận dụng ( ) 1 0 1 lim 1 lim 1 x x x x e x → x → öö ÷÷+ = = + øø Ví dụ: ( ) ( ( )) cos 1 1 1 cos 1 sin cos 1 1 0 0 0 0 lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x e e − − − − → → → → ùù = + − = = = úú ûû
x x x x e →→ x x ö ö ö ö + = + = ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø ø ø Câu 2 – N1 – GK20181 – Đề 3 ( ) ( ( )) cos 1 1 1 cos 1 sin sin cos 1 sin cos 0 0 0 0 lim cos lim 1 cos 1 lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x x e e − −− − → → → → ùù = + − = = = úú ûû
00 0 , , 0 Khi x → xo , ( )( )0 0 u x v x → → \=> ( )( ) ( ) ( )ln lim lim o o v x v x u x x x x x I u x e ùùûû →→ \== Ví dụ ln 1/ lim lim lim 1/ 1/ 2 0 0 0 0 lim ln ln 0 0 lim lim 1x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e− →+ →+− →+ →+ ++ →→ \= = = = = =5 5ln 5 lim lim lim 1 x x x x x x x x e e → → → \= = = Câu 6 – N1 – GK20171 – Đề 3 : ( )tan 0 lim sin x x I x →+ \= ( )( ) ( ) 2 2 cos ln sin sin 1 1 tan tan ln sin sin cos 0 tan tan .cos 0 0 0 0 0 lim sin lim lim lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x x x x I x e e e e e + + + + + − − → → → → → \= = = = = = = Câu 9 – N1 – GK20181 – Đề 2: 2 lim 1 n n n →+ Xét ( )( )2 2 1 ln 1 2 lim lim 2 2 1 0 lim 1 lim 1 1x x x x x x x x x x I x x e e e→+ →+ + →+ → \= + = + = = = = =>2 lim 1 n n n →+
( )( ): , 0 : , o o VCB x x f x VCL x x f x →→ → →
k ñ → ò \= k = 1 ñò k = 0 ñ cấp cao hơn ò k 0;1 ñ cùng cấp ò
A K → B \= K = 1 A B K = A cấp cao hơn B K 0;1 A, B cùng cấp Câu 5 – N1 – GK20181 – Đề 4 Tìm a,b để 2 VCB sau tương đương khi x-> 0: ( ) ( ) ( ) 2 3 4 3 ñò x = + + ax bx x , x =sin x Ta có: ( ) ( ) 3 3 ò x =sin x x ( ) 2 3 4 2 ñ x = + + ax bx x ax nếu a khác 0 => a = 0 ( ) 3 4 4 ñ x =+ bx x x nếu b = 0; ( ) 3 4 3 ñ x =+ bx x x nếu b = Vậy a = 0; b = ####### Chuyên đề 2: Các ứng dụng tìm giới hạn
o x x f x f x + → \=
o x x f x f x − − → \= Ví dụ: 0 1 lim x x + → ####### = ( ) 0 lim ln x x →+ \=− Câu 3 – GK20173 – N2 – D4: 2 1 1 2 lim 1 x x x x → öö+ ÷÷= øø− Câu 3 – GK20171 – N3 – D7: 1 1 1 ln 1 ln 0 0 1 lim lim 0 1 ln x x x x x x x x e x x ++ öö ÷÷− øø− →→ öö − = = ÷÷ øø−
−+ == Ví dụ: Xét sự liên tục cÿa f(x) = x 2 +2x+5 tại xo=0 => f(xo
Câu 2 – GK20173 – N2 – D4: Xét tính liên tục y = ( ) 2 ln 1 4 ; 0 0; 0 x x x x − \= Nhận xét: Hàm số liên tục trên R{0} Tại x = 0: ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 ln 1 4 ln 1 4 0 0 lim lim 0 0 x x x x f f f x x ++ +− →→ −− = = = = = => liên tục tại 0 Hàm số liên tục trên R Đề 5 – 20141 : Tìm m để f(x) = 2 1 cos 2 ; 0 ; 0 x x x m x − \= liên tục tại x = 0 ####### ( ) ( ) 0 0 lim lim 2 2 x x f x f x m +− →→ \= = =þ = III. Đạo hàm
( ) ( ) ' | lim o o o x x x o f x f x f x → x x − −
( ) ( ) ' lim o o o x x o f x f x f x x x → − − Trái: ( ) ( ) ( ) ' lim o o o x x o f x f x f x x x − − → − − Chú ý: f(x) có đạo hàm tại xo => Liên tục tại xo, không có ngược lại Ví dụ: Tính đạo hàm 2 tan tan ' 2 cos x x y x x y x x \= = + C5 – 20181 – D7 – N3: Dùng định nghĩa tính đạo hàm y’(0) với 3 y = x arcsin x ( ) ( ) 3 0 0 0 arcsin '(0) lim lim 0 x x f x f x x y →→ x x − = = = C5 – 20181 – D5 – N2: Tìm a để hàm số có đạo hàm tại x = 0 f(x) = sin ; 0 cos ; 0 x e a x x x x − ü . Với a tìm được, tính f’(0) f(0) = f(
f’(
IV. Vi phân cấp 1 – Tính xấp xỉ Vi phân cÿa y = f(x) là = + − y f x ( x ) ( ) ( ) f x f ' x . x Cách tính xấp xỉ: f x ( o + = x ) ( ) ( ) f xo + f ' xo x Ví dụ: Áp dụng vi phân, tính gần đúng 3 7. Xét ( ) ( ) 2 313 ' 3 f x x f x x − \= =. Ta có xo = = −8; x 0. Áp dụng f x ( o + = x ) ( ) ( ) f xo + f ' xo x => 3 7=7. Tồn tại đạo hàm khi và chỉ khi f’(xo
Áp dụng vi phân, tính gần đúng sin 0. 4 öö ÷÷+ øø Xét f x ( )= sin x f x '( ) cos= x. Ta có ; 0. 4 xo x = = sin 0 sin 0 0. 4 4 4 ö ö ö ö ö ö ÷ + ÷= ÷ ÷+ ÷ ÷= ø ø ø ø ø ø Câu 6 – 20181 – D4 – N1: Āng dụng vi phân, tính gần đúng 4 2 2 0− Xét ( ) ( ) 1 3 4 4 4 2 2 2 1 2 ' 2 f x f x x x x x − ö ö − ö ö = = = ÷ ÷ ÷ ÷ ø ø ø ø . Ta có xo = = −2; x 0. 4 ( ) ( ) 2 2 0 ' 2 1. 2 0. \= f − f = − Chú ý: Công thức Leibiniz: ( )( ) ( ) ( ) 0 ..n n k n k k n k u v C u v− \= \=õTrong đó: ( Sử dụng khi biết một số k hữu hạn nào đó sẽ khiến v (k) = 0 Ví dụ: x 5 có đạo hàm cấp 5 bằng 0 ( ) ( ) ( )( ( ))( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 2 202112 2 2 2 2 0 ( ) sin. ' cos sin '' 2 cos'' sin. sin. sin. sin.sin. 2 cos. sin. 2 cos.x x x k k k x x x x k x x x x f x x e f x x x e f x xef x C x e C x e C x e C x ex e x e x e x e− \= \= = + =\= = + +\= − + + =õ
(20) (1) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )20 20 20 0 20 0 1 19 1 20 20 20 0 20 19 19 18 20 19 19 19 19 ln ln ln 19! 18! 19! 20! 20! 19! ln 20 ln 1.. 20 1 k k k k y C x x C x x C x x x x x x x x x x x − \= \= = + − − = + = − + − = + = õ y (20) (1) = 20!-19! Lưu ý: Cách chứng minh công thức đạo hàm cấp cao: Dùng quy nạp ( ) ( )2 3 1 1 2 ' '' 111 y y y x x x − = = =
Giả sử ( ) ( )( )1 1! 1. 11 n n n n x x öö ÷÷=− øø+ + (*) Với ( )2 1 1 ' 1 n y x − = = + \=> n = 1 đúng với (*) Với ( )3 2 2 '' 1 n y x \= = + \=> n = 2 đúng với (*) Giả sử ( ) ( )( )1 ! 1. 1 k k k k n k y x \= = − + + là đúng ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )1 1 2 2 2 1 1 1! 1 1. !. 1 1 1 k k k k k k k k x k n k y y k x x
− + + + = + =ùù= − = − ++ (đúng với *) Ví dụ: Câu 7 – 20181 – Đề 5 – N2 : Cho y = (x+1)lnx. Tính y (20) (1) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )20 20 20 0 20 0 1 19 1 20 20 20 0 20 19 19 18 20 19 ln 1 ln 1 ln ( 1) 19! 18! ln 1 20 ln 1. .( 1) 20 1 2! 20! 2! 19! 18! 18! 19! k k k k y C x x C x x C x x x x x x x x − \= \= + = + + + \= + + = − + + − = − + = − + + = − õCâu 5 – 20171 – Đề 1 – N1 : Tính y (5) (x) với y = ln(2x 2 -x) ( )( )5 (5) 5 5 2 4! 2 .4! ln ln ln 2 1 2 2 1 y x x yx x x x \= = + −− =þ = + − Câu 10 – 20173 – Đề 4 – N2: Cho y = x 2 ln(1-3x). Tính y (n) (0), n≥3. ( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ))( ) ( )( )( ) ( )2 2 0 0 0 ln 1 3 0 , 0 n n k k n k k n k y C x x x − \= \=õ − =2; 2 0; 0 k k \= \= ( ) ( ) ( ( ))( ) ( )2 2 0 2 ln 1 3 0 n n y Cn x − = − Ta có ( )( )( ) ( )( )( )( ) 1 2 3 9 3 ln 1 3 ' '' 1 1! 1 3 1 3 1 3 n n n n y x y y y n x x x −− − − = − = = = − − − −− ( ( ))( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 ln 1 3 0 2 1 3! 2 3! 1 3 n n n n n n n n C x C n C n x − − − − − − − = − − = − − − Câu 9 – 20171 – Đề 7 – N3: Cho ( )( )4 1 ( ) ln 2 5! x f x x − =−. Tính d 10 f(1). ( )( ) ( )( ) ( ) (( ))( ) ( ( ))( ) 10 10 10 10 10 4 10 10 0 1 1 1 , 1 1 ln 2 5! k k k k d y y dx y C x x − \= \= = õ − −.Ta có (( ) )4 ( ) 1 k x −= 4!; 4 0; 4 k k \= \=> ( ) ( ( ))( ) ( ( ))( ) ( )( )( )6 (10) 4 6 6 5 106 1 1 1 4! ln 2 42 ln 2 42. 1 .5!. 5040 5! 2 y C x x x − = − = − = − = − − Sử dụng khai triển Maclaurin của hàm số 3 y =+ 1 x đến x 3 để tính gần đúng 3 1, 09 Quy tròn đến 10
( ) ( )1 3 2 3 3 3 3 3 2 3 1 1 5 1 1 1 3 9 81 1 1 5 1, 09 1 0, 09 1 .0, 09 .0, 09 .0, 09 1, 029145 3 9 81
\= + = + − + =
Cách làm: Đề bài yêu cầu tìm đạo hàm cấp n hàm số y tại x = 0
n . n! = kết quả cần tìm Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp cao y (5) (0) của y = sin x. y (5) (0) = sin (x+5π/2)|x=0 = 1 Ta có khai triển Mac của y là: 1315 sin 3! 5! x = − + x x x Hệ số của x 5 là 1 5! \=> y (5) (0) = 1 5! . 5! = 1 Câu 9 – 20173 – Đề 6 – N3 : Cho y = e x sinx. Tính đạo hàm cấp cao y (6) (0). 12131415 1 2 3! 4! 5! x e = + + + + x x x x + x 1315 sin 3! 5! x = − + x x x \=> Hệ số của x 6 của sin x e x là: 2 1 6 1 3 1 6 1 5! 3! 5! 90 x x x öö − − + = ÷÷ øø ( ) ( ) ( ) ( ) 6 016 0 8 6! 90 y y − = = − Câu 8 – 20181 – Đề 2 – N1: Cho 2 2 1 x y x \= + . Tính đạo hàm cấp cao y (7) (0). ( ( )) ( ) ( ( ))( ) 8 2 (7) 2 2 2 ln 1 ln 1 1 x y x y x x x = = + = + + . Ta có: ( ) 2 3 4 ln 1 ... 2 3 4 x x x + = − + − + x x => ( ) 4 6 8 2 2 ln 1 ... 2 3 4 x x x
( ( ))( ) ( ) ( ) 8 2 (7) ln 1 0 1 8! 0 10080 4 8! 4 x y
Cách làm: khi x => 0. Khai triển cả tử và mẫu để số hạng có bậc lớn nhất phụ thuộc mẫu Ví dụ: Câu 9 – 20173 – Đề 1 – N1: Tính ( )( ) 4 2 0 5 3 1 1 2 cos 2 lim x ln 1 2 x x → x x −+ − ( ) 5 3 8 x ln 1 2−− x 2 x ( )8 4 4 8 2 4 1 2 1 2 cos 2 1 6 x x x x x x
−+ \=> ( ) ( )8 8 4 2 4 4 8 8 4 8 1 2 cos 2 1 1 2 6 3 x x x x x x x o x x −
( )( ) 4 2 8 0 5 3 0 8 4 1 1 2 cos 2 3 2 lim lim x ln 1 2 x 2 3 x x x →→ x x x −+ − == − − II. Tiệm cận
Trong đó: ( ) lim lim ( ) ( ) lim lim ( ) x x x x f x a b f x ax x f x a b f x ax x → →→ →− − \= = − \= = − ( ) ( ) x f t y g t \= \= . Xét lim tiến tới to hoặc ∞
( ) ( ) lim lim o o t t t t f t a g t → → \= \=
( ) ( ) lim lim o o t t t t f t g t b → → = \=
Nếu lim ( ) t to f t → \= và lim ( ) t to g t → \= thì đường cong có thể có tiệm cận xiên. ( ) lim lim o o t t t t y a x b y ax → → \= \=− Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm số 2 2 x y x \= − . lim 1; lim 1 x x y y →→− \= = − => 2 tiệm cận ngang 2 2 lim l; im x x y y +− → →− = = − => 2 tiệm cận đứng Câu 6 – GK20181 – D7 – N3: Tìm tiệm cận xiên của 1 2 1 x x y xe
2 2 1 2 2 2 2 lim lim lim 4 4 x x x x x y e e y e x e y e x x →→ − → \= = − = = +. Xét lim tại -∞ tương tự. Câu 8 – GK20173 – D5 – N3: Tìm tiệm cận xiên y = ln(1+e -2x ). ( )( )( ) ( ) 2 2 2 ln 1 lim lim 0 lim lim ln 1 0 ln 1 lim lim 2 lim 2 0 2 x x x x x x x x x x y e y e khongco x x y e y x y x x x − − → → → → − → −→ →
Ví dụ: Tìm tiệm cận của 2 1 x t y t \= \= 0 0 0 lim lim 0 : 0 lim 0 li ; ; :m t t t t T x y TCN y x y CD y →→ →→ \= = =þ = \= == Câu 9 – 20161 – D4: Tìm các tiệm cận của đường cong cho bởi 2 3 3 2016 2016 ; 1 1 t t x y t t \== −− 1 1 ;lim lim t t x y →→ \== => Không có TCD, TCN. Có TCX 0 lim 0;lim t t x y → → \== => Không có ( ) 1 1 1 2016 lim lim 1; lim 3 2016 3 t t t y t y x x y x → → → − = = − = = − III. Tiếp tuyến:
y = f’(xo)(x-xo) + yo
( ) ( ) x x t y y t \= \= tại to ( ) ( ) ( ) ' '( ) o o o o x x t y y t x t y t −− = ####### Chuyên đề 5: Nguyên hàm – Tích phân
II. Một số cách tính nguyên hàm
m n x xdx #######
Ví dụ: 3 2 I = sin x cos x dx ####### . Đặt t = cos x => ( ) ( ) 5 3 5 3 2 2 4 2 cos cos 1 5 3 5 3 t t x x I = − t t dt = − t t dt = − + =þ = C I − + C ####### Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 2: 2 2 2 2 x I dx x x
( ) ( ) ( )(( ) )( )2 2 2 2 2 ln 1 1 2 2 1 3 3arctan 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 x x x x I dx dx dx x C x x x x x öö−+
Câu 8 – 20183 – N1 – Đề 1: ( )3/ 2 2 ln 1 2 ln 1 3 x x I dx C x
Câu 7 – 20181 – Đề 3 – N1: 2 I = arccos xdx Đặt t = arccos x => x = cos t => dx = -sin t dt 2 2 2 I = − t sin tdt = t cos t − 2 t cos tdt t = cos t −2 sin t t −2 cos t C + Câu 7 – 20181- N3 – Đề 7: 2 arctan x I dx x \= I Đặt t = arctan x => x = tan t => dx = (tan 2 t +1)dt 2 2 2 (tan 1) 1 arctan ln sin ln sin(arctan ) tan sin tan tan t t tdt t x I dt td t C x C t t t t x
Câu 7 – 20191 – N1 – Đề 3: 2 2 arcsin 1 1 arcsin 1 2 1 1 2 1 2 2 arcsin 1 2 arcsin 1 2 arcsin 1 4 1 1 1 x I dx x u x du dx x dx dv v x x x I x x dx x x dx x x x C x x \= + \= =þ = − \= = + +
Câu 6 – 20181 – Đề 7 – N3: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3/ 4 1/ 4 7 / 4 3/ 4 7 / 4 3/ 4 1/ 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 7 3 7 3 1 x x e tdt x x I dx t t dt t t C e e C e t − = = = + − +ùù= + − + + = + − + + ûû Câu 7 – 20181 – Đề 1 – N1: ( )( )2 2 3 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ln 1 arctan 1 1 1 1 1 3 3 2 x x I dx dx dx x x C x x x x x x x
Câu 9 – 20183 – N1 – Đề 1: ( )2 I = ln x + + x 1 dx |
