Giải bài tập toán lớp 9 hình học trang 106 năm 2024

Đáp án chính xác và Giải bài 12, 13, 14, 15, 16 trang 106 SGK Toán 9 tập 1: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây – Phần hình học chương 2.

Định lý 1: Trong một đườngtròn:

1. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

2. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Định lý 2. Trong hai dây của một đườngtròn:

1. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

2. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Đáp án và lời giải chi tiết bài sách giáo khoa trang 106 Hình 9 tập 1.

Bài 12.Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8 cm.

1. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

2. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với A B.Chứng minh rằng CD=AB.

Giải: a) Vẽ OH ⊥ AB, ta có HA=HB=4cm.

Xét tam giác HOB vuông tại H, có:

OH2 = OB2 – HB2 =52 – 42 = 9 ⇒ OH = 3(cm).

2. Vẽ OK ⊥ C D.Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra OK=HI. Ta có HI=4-1=3cm, suy ra OK=3cm.

Advertisements (Quảng cáo)

Vậy OH=OK=3cm.

Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó AB=CD.

Bài 13 trang 106. Cho đường tròn(O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và C D.Chứng minh rằng:

1. EH=EK

2. EA=EC.

Giải:

a)Vì HA=HB nên OH⊥AB.

Advertisements (Quảng cáo)

Vì KC=KD nên OK ⊥ CD.

Mặt khác, AB=CD nên OH=OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

ΔHOE = ΔKOE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra EH=EK. (1)

2. Ta có AH=KC (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra EH+HA = EK+KC hay EA = EC.

Bài 14 Toán 9. Cho đường tròntâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Vẽ OH⊥AB, đường thẳng OH cắt CD tại K. Hãy chứng minh

OK ⊥ CD, KC=KD và AH=HB.

Tính được OH=15, suy ra OK=7.

Từ đó suy ra KD=24, suy ra CD=48.

Bài 15 trang 106 SGK toán hình 9. Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD.

2. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI=1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD=AB.

Hướng dẫn giải:

1. Vẽ \(OH\perp AB\), ta có

\(HA=HB=4cm.\)

Xét tam giác HOB vuông tại H, có:

\(OH^{2}=OB^{2}-HB^{2}=5^{2}-4^{2}=9\Rightarrow OH=3(cm)\).

2. Vẽ \(OK\perp CD\).

Tứ giác KOHI có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra \(OK=HI\). Ta có \(HI=4-1=3cm\), suy ra \(OK=3cm.\)

Vậy \(OH=OK = 3cm.\)

Hai dây AB và CD cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó \(AB = CD.\)

Bài 13 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 13. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

1. EH = EK

2. EA = EC.

Hướng dẫn giải:

1. Vì \(HA=HB\) nên \(OH\perp AB\).

Vì \(KC=KD\) nên \(OK\perp CD\).

Mặt khác, \(AB=CD\) nên \(OH=OK\) (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

\(\Delta HOE=\Delta KOE\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra \(EH=EK. (1)\)

2. Ta có \(AH=KC\) (một nửa của hai dây bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EH+HA=EK+KC\)

hay \(EA=EC.\)

Bài 14 trang 106 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 14. Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(25cm\), dây \(AB\) bằng \(40cm\). Vẽ dây \(CD\) song song với \(AB\) và có khoảng cách đến \(AB\) bằng \(22cm\). Tính độ dài dây \(CD\).

Giải Toán lớp 9 trang 106 tập 1 giúp các bạn học sinh có thêm nhiều gợi ý tham khảo để trả lời các câu hỏi và bài tập trong SGK bài 3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây thuộc chương 2.

Giải Toán 9 Bài 2 Chương 2 tập 1 được biên soạn với các lời giải chi tiết, đầy đủ và chính xác bám sát chương trình sách giáo khoa môn Toán. Giải Toán lớp 9 trang 106 tập 1 là tài liệu cực kì hữu ích hỗ trợ các em học sinh trong quá trình giải bài tập. Đồng thời phụ huynh có thể sử dụng để hướng dẫn con em học tập và đổi mới phương pháp giải phù hợp hơn.

Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Trả lời câu hỏi Toán 9 Bài 3

Câu hỏi 1

Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:

1. Nếu AB = CD thì OH = OK.

2. Nếu OH = OK thì AB = CD.

Gợi ý đáp án

Ta có: OH là một phần đường kính vuông góc với dây AB

⇒ H là trung điểm của AB ⇒ AB = 2HB

OK là một phần đường kính vuông góc với dây CD

⇒ K là trung điểm của CD ⇒ CD = 2KD

\=> OH2 + HB2= OK2+ KD2

1. Ta có: AB = CD ⇒ HB = KD

⇒ OH2 = OK2 ⇒ OH = OK

2. Ta có: OH = OK ⇒ HB2= KD2

⇒ HB = KD ⇒ AB = CD

Câu hỏi 2

Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục I để so sánh các độ dài:

1. OH và OK, nếu biết AB > CD

2. AB và CD, nếu biết OH < OK

Gợi ý đáp án

1. Nếu AB > CD thì HB > KD

⇒ HB2 > KD2

Mà: OH2 + HB2 = OK2 + KD2

⇒ OH2 < OK2

⇒ OH < OK

2. Nếu OH < OK thì OH2< OK2

⇒ HB2 > KD2 ⇒ HB > KD

⇒ AB > CD

Câu hỏi 3

Cho tam giác ABC, O là giao của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69).

Hãy so sánh các độ dài:

1. BC và AC;

2. AB và AC.

Gợi ý đáp án

O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC

⇒ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

1. OE = OF ⇒ AC = BC

2. OD > OE ⇒ AB < AC

Giải bài tập Toán 9 trang 106 tập 1

Bài 12

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.

1. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

2. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

1. Kẻ OJ vuông góc với AB tại J.

Theo quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây suy ra: J là trung điểm của AB.

Ta được cm

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAJ có:

OJ2 = OA2 – AJ2 = 52 – 42 = 9 (OA = R = 5cm)

\=> OJ = 3cm (1)

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OJ = 3cm.

2. Kẻ OM vuông góc với CD tại M.

Tứ giác OJIM có: góc I = góc J = góc M = 900 nên là hình chữ nhật

Ta có IJ = AJ – AI = 4 – 1 = 3cm

\=> OM = IJ = 3cm (Tính chất hình chữ nhật) (2)

Từ (1), (2) suy ra CD = AB (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). (đpcm)

Bài 13

Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

1. EH = EK

2. EA = EC.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa:

1. Nối OE ta có: AB = CD

\=> OH = OK (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm)

H là trung điểm của AB nên OH ⊥ AB (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

K là trung điểm của CD nên OK ⊥ CD (đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

Hai tam giác vuông OEH và OEK có:

OE là cạnh chung

OH = OK

Do đó ΔOEH = ΔOEK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

\=> EH = EK (1). (đpcm)

2. Ta có: H là trung điểm của AB nên AH =

K là trung điểm của CD nên

(định lí 1)

Tương tự

Mà AB = CD (gt) suy ra AH = KC (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

EA = EH + HA = EK + KC = EC

Vậy EA = EC. (đpcm)

Giải Toán 9 trang 106 tập 1: Luyện tập

Bài 14

Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB bằng 40cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

Kẻ OM ⊥ AB, ON ⊥ CD.

Ta thấy M, O, N thẳng hàng. Ta có:

\= 20 cm; MN = 22 cm

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AMO có:

OM2 = OA2 – AM2 = 252 – 202 = 225

\=> OM = √225 = 15cm

\=> ON = MN – OM = 22 – 15 = 7 (cm)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CON có:

CN2 = CO2 – ON2 = 252 – 72 = 576

\=> CN = √576 = 24

\=> CD =

Bài 15

Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD.

Hãy so sánh các độ dài:

1. OH và OK

2. ME và MF

3. MH và MK.

Gợi ý đáp án

1. Trong đường tròn nhỏ:

AB > CD => OH < OK (định lí 3)

2. Trong đường tròn lớn:

OH < OK => ME > MF (định lí 3)

3. Trong đường tròn lớn:

ME > MF => MH > MK

Bài 16

Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.