Các bài toán về xét tính liên tục

là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán Phổ thông. Bài viết dưới đây sẽ Cmath sẽ giúp các bạn học sinh biết cách xét tính liên tục của hàm số, đồng thời từ đó vận dụng giải các dạng bài tập về tính liên tục của hàm số như: Xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm (x-H0), trên một đoạn hay trên một khoảng, tìm các điểm có tính gián đoạn của hàm số, hay chứng minh cho phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số liên tục (tóm tắt) – xét tính liên tục của hàm số

Cách xét tính liên tục của hàm số

1. Lý thuyết về hàm số liên tục tại 1 điểm

– Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) đã xác định trên khoảng (a;b) và xo E (a;b). Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số liên tục tại xo nếu:

– Xét tính liên tục của hàm số: Hàm số f(xo) nếu không liên tục tại điểm xo thì được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

2. Hàm số fx liên tục trên một khoảng

– Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

– Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và:

Đồ thị mô tả xét tính liên tục của hàm số

3. Một số định lý cơ bản về xét tính liên tục của hàm số

• Định lý 1 xét tính liên tục của hàm số:
• a) Hàm số đa thức trên liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
• b) Hàm số phân thức hữu tỉ ( là thương của 2 đa thức) và các hàm số lượng giác khác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
• Định lý 2:

– Giả sử hàm số f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm xo. Khi đó:

1. a) Các hàm số f(x) + g(x); f(x) – g(x) và f(x).g(x) liên tục tại xO.
2. b) liên tục tại xọ nếu g(xo) ± 0.
3. Định lý 3:

– Nếu mà hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì hàm số tồn tại ít nhất một điểm ce (a;b) sao cho f(c) = 0.

II. Các dạng bài tập kinh điển về xét tính liên tục của hàm số

• Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x.

  Phương pháp làm dạng xét tính liên tục của hàm số tại điểm x:

  • Bước 1: Tính f(xo)

  Ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Hãy dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x³ + 2x – 1 tại điểm xo=3.

  Lời giải cho ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

  – Ta có: f(x) = x³ + 2x – 1

  \= f(3) = 33 + 2.3 – 1 = 32

  \= f(x) liên tục tại xo = 3.

  Ví dụ 2 (Bài 2 SGK trang 140 Đại số 11):

  1. a) Hãy xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x, = 2, biết:
  2. b) Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại xo = 2.

  Lời giải cho ví dụ 2 (Bài 2 SGK Đại số 11 trang 140):

  Dạng 2: Bài tập xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

  * Phương pháp:

  – Sử dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định của nó.

  – Nếu hàm số đã cho xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

  Điểm đặc biệt của việc xét tính liên tục của hàm số không chỉ là vấn đề lý thuyết mà còn liên quan mật thiết đến thế giới thực, từ xây dựng các mô hình toán học đến các ứng dụng trong kỹ thuật, vật lý, và nhiều lĩnh vực khác. Cùng Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa tìm hiểu bài toán xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp.

  Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa

  MỤC LỤC

  1. Xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp

  Tính liên tục của một hàm số là tính chất quan trọng trong toán học. Một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại một điểm x = a nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:

  • f(a) được xác định: Điều này có nghĩa là giá trị của hàm số tại x = a không được bị định nghĩa.
  • limx→a f(x) tồn tại: Điều này có nghĩa là giới hạn của hàm số khi x tiến dần đến a phải tồn tại.
  • limx→a f(x) = f(a): Điều này có nghĩa là giới hạn của hàm số khi x tiến dần đến a phải bằng giá trị của hàm số tại x = a.

  Nếu tất cả ba điều kiện trên đều đúng, thì hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x = a. Một hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó.

  Ví dụ: Hãy xem xét hàm số f(x) = 1/x. Chúng ta sẽ xét tính liên tục của hàm số này tại mọi điểm x = a.

  • f(a) được xác định: Hàm số f(x) = 1/x được xác định tại mọi điểm x ≠ 0, nên f(a) được xác định cho mọi a ngoại trừ a = 0.
  • limx→a f(x) tồn tại: Giới hạn limx→a 1/x tồn tại cho mọi a ngoại trừ a = 0.
  • limx→a f(x) = f(a): limx→a 1/x = 1/a, nếu a ≠ 0. Nếu a=0, thì limx→0 1/x không tồn tại (là vô hạn).

  Vậy nên, hàm số f(x) = 1/x liên tục trên mọi khoảng chứa các số thực x ngoại trừ x = 0.

  2. Lưu ý khi xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp

  Khi xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp, có một số lưu ý quan trọng cần nhớ:

  • Tính liên tục tại một điểm cụ thể: Một hàm số có thể liên tục tại một điểm nhất định mà không cần phải liên tục trên toàn bộ miền xác định. Điều này có nghĩa là bạn có thể xét tính liên tục của hàm số tại từng điểm riêng lẻ.
  • Tính liên tục trên một khoảng: Một hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó. Điều này đòi hỏi hàm số phải liên tục tại các điểm biên của khoảng và liên tục ở giữa các điểm biên.
  • Tính liên tục qua các phép toán: Nếu f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại một điểm x = a, thì các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia (nếu g(x) ≠ 0 của f(x) và g(x) cũng sẽ liên tục tại điểm x = a.
  • Liên tục trên miền xác định: Một hàm số được gọi là liên tục trên miền xác định nếu nó liên tục tại mọi điểm trong miền đó. Điều này có nghĩa là hàm số phải liên tục tại mọi điểm trên đồ thị của nó, không chỉ tại các điểm giới hạn hoặc tại điểm cụ thể.
  • Liên tục đồng đều: Một hàm số được gọi là liên tục đồng đều trên một khoảng nếu cho trước một số dương ε, luôn tồn tại một số dương δ sao cho nếu ∣x − a∣ < δ thì ∣f(x) − f(a)∣ < ε. Điều này đảm bảo rằng sự chênh lệch giữa giá trị của hàm số và giá trị dự đoán của nó có thể được giữ ở một mức độ chấp nhận được trên toàn bộ khoảng.

  Những lưu ý này cung cấp một cách tiếp cận cơ bản khi xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp. Để xác định tính liên tục của một hàm số cụ thể, bạn sẽ cần áp dụng những nguyên tắc này vào từng trường hợp cụ thể.

  3. Bài tập có đáp án khi xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp

  Bài tập 1: Xác định miền liên tục của hàm số

  Hãy xác định miền liên tục của hàm số f(x ) = 1 /x^2 – 4

  Đáp án 1:

  Hàm số trên không liên tục tại các giá trị x khi x^2 – 4 = 0, tức là x = 2 hoặc x = −2. Vì vậy, miền liên tục của hàm số là (−∞,−2) ∪ (−2,2) ∪ (2,+∞).

  Bài tập 2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số

  Hãy kiểm tra tính liên tục của hàm số g(x) = √x^2 – 1

  Đáp án 2:

  Hàm số trên không liên tục tại các giá trị x khi x^2 – 1 < 0, tức là x < −1 hoặc x > 1 vì không thể lấy căn bậc hai của một số âm. Vì vậy, hàm số g(x) liên tục trên khoảng (−1,1).

  Bài tập 3: Tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục

  Hãy tìm giá trị của tham số a sao cho hàm số h(x) = x^2 – 1 /x – a. liên tục trên toàn bộ miền xác định.

  Đáp án 3:

  Hàm số h(x) sẽ không có giá trị không xác định khi x − a = 0, nghĩa là x = a. Để hàm số h(x) liên tục trên toàn bộ miền xác định, ta cần a không được chấp nhận giá trị khi x = a. Do đó, để hàm số h(x) liên tục trên toàn bộ miền xác định, giá trị của a không được chọn.

  Trên đây là các thông tin về bài toán xét tính liên tục của hàm số toán cao cấp mà Trung tâm sửa chữa điện lạnh – điện tử Limosa muốn cung cấp đến cho bạn. Nếu quý vị cần thêm thông tin hoặc có bất kỳ câu hỏi nào, vui lòng gọi đến cho chúng tôi qua số HOTLINE 1900 2276.