Bài tập tự luận cấp số cộng có lời giải

Trong mỗi bài học thì đều có lý thuyết, phương pháp giải, bài tập tự luận và bài tập trắc nghiệm có full lời giải chi tiết. Tài liệu phù hợp cho các bạn học sinh có xu hướng tự học tại nhà, phù hợp cho giáo viên giảng dạy tại lớp và tại nhà!

Tài liệu được mình biên soạn và sưu tầm

• Bài 1: Phương pháp chứng minh quy nạp
• Bài 2: Số hạng dãy số
• Bài 3: Dãy số tăng, giảm, dãy số bị chặn
• Bài 4: Cấp số cộng
• Bài 5: Cấp số nhân
• Bài 6. Một số bài toán khó

Nếu bạn là giáo viên, có nhu cầu sử dụng FILE WORD để tiện tham khảo, chỉnh sửa trong quá trình biên soạn và giảng dạy thì có thể liên hệ mình nhé!

Nếu bạn đọc trong quá trình tham khảo, học tập phát hiện ra lỗi trong bộ tài liệu TỰ HỌC TOÁN 10, TỰ HỌC TOÁN 11, 40 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI 2022 thì mong các bạn phản hồi về cho mình nha. Mình chân thành cám ơn!

Trong đề thi thường có 2 đến 3 câu về kiến thức này. Với 35 bài tập trắc nghiệm ở mức độ nhận biết, thông

hiểu này, HS được ôn luyện lại toàn bộ các kiến thức cơ bản về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân như các

bài toán về dãy số tăng, giảm, bài toán về công thức tổng quát, tổng của n số hạng đầu tiên, tính chất của

cấp số cộng và cấp số nhân

Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

1. B. C. D.

2 u n  n ( 1).

n un   n 3

n n

n u  un  2 n

Câu 2: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?

1. B. C. D.3

n n

n u 

31

n

n u n



2 un  n  2 n

 1 

3

n

un n



Câu 3: Cho cấp số nhân   1 Hỏi số là số hạng thứ mấy?

1; 3;.2

u n u q

 3256A. 9 B. 10 C. 8 D. 11

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

1. Một dãy số là một hàm số.

2. Dãy số là dãy số không tăng cũng không giảm.

1 1

2

n

un

        

3. Mỗi dãy số tăng là một dãy số bị chặn dưới.

4. Một hàm số là một dãy số.

Câu 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

1. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân

2. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng

3. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng

4. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.

Câu 6: Cho dãy số (un) với ( 1) .Mệnh đề nào sau đây đúng?

n un   n

A. Dãy số  un là dãy số bị chặn. B. Dãy số  unlà dãy số giảm.

C. Dãy số  un là dãy số tăng D. Dãy số  unlà dãy không bị chặn.

Câu 7: Trong dãy số sau dãy nào là cấp số nhân?

1. Dãy số -2,2, -2,2, ..., -2,2, -2,2, ...

B. Dãy số  un , xác định bởi công thức

• 3 1,.

n un   n 

C. Dãy số  un , xác định bởi hệ:

 

1 * 1

1

n n 2 , 2

u

u u  n n

     

4. Dãy số các số tự nhiên 1, 2, 3, ....

Câu 8: Cho  un là cấp số cộng có công sai d,  vnlà cấp số nhân có công bội là q và các khẳng định:

9. un  d  un  1  n  2,n  N II) 1 2,

n vn  q v n  n N

III) IV)

1 1 2, 2

n n n

u u u n n N

     

2 vn  1 vn  vn  1 n  2,n N

V)

 1 

1 2 ... 2,2

n n

n v v v v v n n N

      

Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

1. 4 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 9: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số bị chặn?

1. B. C. D.2 11

n

n u n



un  2 n  sinn

2 u n  n

3 un  n  1

Câu 10: Cho cấp số nhân  un có u 1 = 2, và công bội q = 3. Tính u 3.

1. u 3  8 B. u 3  18 C. u 3  5 D. u 3  6

Câu 11: Cho cấp số cộng  un, biết u 2 = 2, và u 4 = 7. Giá trị của u 15 bằng:

1. 27 B. 31 C. 35 D. 29

Câu 12: Dãy số nào dưới đây là dãy tăng?

A.   B.

5 , *2 3

n

n u n n

 

  

1 *,2 3

u n n n

 

C.     D.

un  sin 2 n  1 , n   

3 1 , *2 3

n

n u n n

 

Câu 13: Tìm x để ba số ln 2;ln 2 1 ;ln 2  3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

x x  

1. log 2 5 B. -1 C. D.

5 2 log 5 2

Câu 14: Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số  an , n  1 là Khi đó

2 S n 2 n 3 .n

A.  anlà một số nhân với công bội bằng 1

B.  anlà một cấp số nhân với công bội bằng 4.

C.  anlà một cấp số cộng với công sai bằng 1

Câu 26: Cho a và b lần lượt là số hạng thứ nhất và thứ năm của một cấp số cộng có công sai d 0á trị

của log 2 bằng

b a

d

    

1. log 5 2 B. 2 C. 3 D 9 2

Câu 27: Ba số 1, 2, atheo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Giá trị của a bằng bao nhiêu?

1. 4 B. -2 C. 2 D. -

Câu 28: Cho một cấp số cộng  un có u 1  5 và tổng 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng

tổng quát un.

1. un  1  4 n B. un  5 n C. un  3  2 n D  2  3 n

Câu 29: Cho dãy số  un là một cấp số cộng có u 1  3 và công sai d = 4. Biết tổng n số hạng đầu của dãy số

 un  là S n253ìm n.

1. 9 B. 11 C. 12 D. 10

Câu 30: Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa 1 lượng nước như nhau, độ cao mực nước trong bình II gấp đôi

bình I và trong bình III gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r r 1 , 2 ,r 3 của ba bình I, II, III.

1. r r 1 , 2 ,r 3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 2.

2. r r 1 , 2 ,r 3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội

1.2

3. r r 1 , 2 ,r 3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 2.

4. r r 1 , 2 ,r 3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội

1.2

Câu 31: Cho cấp số nhân  un  biết Tìm số hạng đầu và công bội q của cấp số nhân trên?

4 2

5 3

54.108

u u

u u

    

u 1

1. u 1  9; q 2 B. u 1  9; q = -2 C. u 1  -9; q = -2 D. u 1 -9; q = 2

Câu 32: Cho cấp số cộng   có số hạng tổng quát Tổng của 10 số hạng đầu tiên của

• un ,n   u n 1 3 .n

cấp số cộng bằng

1. -59 049. B. -310. C. -59 048. D. -155.

Câu 33: Khẳng định nào dưới đây sai?

A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân  un  là với công bội q và số hạng đầu

1

1. ,

n un u q

  u 1.

B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un là u n u 1   n  1  d,với công sai d và số hạng đầu u 1.

C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng  un  là un  u 1  nd,với công sai d và số hạng đầuu 1.

D. Nếu dãy số  un là một cấp số cộng thì

2 * 1. 2

n n n

u u u n

 

   

Câu 34: Cấp số cộng  un có số hạng đầu là u 1 3, công sai d = 5, số hạng thứ tư là:

1. u 4  23 B. u 4  18 C. u 4  8 D. u 4  14

Câu 35: Cho cấp số nhân  un  biết u 5  2 và u 9  6ìm giá trị củau 23.

1. 18 B. 54 C. 162 D. 486

Phương pháp:

Sử dụng các định nghĩa cấp số cộng, cấp số nhân, dãy tăng:

• Cấp số cộng: Dãy   là một cấp số cộng công sai d nếu n n 1 u  1

un   un d.

• Cấp số nhân: Dãy  un  n 1 là một cấp số nhân công bội q nếuun  1 q u. n
• Dãy số tăng: Dãy  un  n 1 là một dãy số tăng nếuun  1  u n, n.

Cách giải:

Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau vừa là cấp số cộng với công sai 0, vừa là cấp số nhân công sai 1

Một cấp số cộng có công sai d > 0 thì một dãy số tăng vì un  1  un ,n

Một cấp số cộng có công sai d > 0 có thể không phải là một dãy số dương vì còn tùy thuộc vào số hạng đầu

u 0.

Câu 6: Chọn D.

Phương pháp:

Đối chiếu với định nghĩa, tính chất của dãy bị chặn, dãy không bị chặn, dãy số tăng, dãy số giảm.

Cách giải:

 un  : 1; 2;  3; 2  5; 6;  7;... là dãy số không bị chặn.

Câu 7: Chọn A.

Phương pháp:

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng

tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:  un : cấp số nhân

 n  2, un un  1 q (q được gọi là công bội của cấp số nhân).

Cách giải:

Dãy số -2,2, -2,2, ..., -2,2, -2,2, ... là cấp số nhân với công bội là 1.

Các dãy số ở đáp án B, C, D không phải cấp số nhân vì không tồn tại số q thỏa mãn un  un  1 q, n 2.

Câu 8: Chọn B.

Phương pháp:

Dựa vào định nghĩa và các tính chất của các số cộng và cấp số nhân.

Cách giải:

Khẳng định I) đúng theo định nghĩa.

Khẳng định II) sai vì

1 1 2,

n vn q v n n N

    

Khẳng định III) đúng theo tính chất của cấp số cộng.

Khẳng định IV) sai. Ta có:

 

2 1 2 2 3 1 1 1 1

2 2 2 2 2 1 1 1

2 1 1

....

n n n n n

n n n

n n n

v v v q v q v q

v v q v q

v v v

   



 

   

Khẳng định V) sai vì:

 

1 1 1 2

1..1

n

n

v q v v v q

      

     

1 1 1 1 1 1

2 2 2

n n n n v v n v v q v n nq

      

 1 

1 2 ...2

n n

n v v v v v

    

Vậy có hai khẳng định đúng.

Câu 9: Chọn A.

Phương pháp:

• Dãy số  un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, nghĩa là: tồn tại số m,M sao

cho

• m  un  M , n N.

Chú ý: Nếu lim u n  thì ta kết luận ngay dãy không bị chặn.

Cách giải:

Đáp án A: nên là dãy bị chặn.

2 1 2  1  11 *

0 2 2,1 1 1

n

n n u n N n n n

           

 un

Đáp án B, C, D: lim un   nên các dãy số này đều không là dãy bị chặn.

Câu 10: Chọn B.

Phương pháp:

Dùng công thức truy hồi để tính.

Cách giải:

Theo giả thiết ta có mối liên hệ giữa số hạng thứ n và n – 1 là un qun  1 với q =3.

Do đó ta có u 3  3 u 2  3 3 u 1  9 u 1  9 18.

Câu 11: Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức SHTQ của CSC u n u 1  ( n 1) d,lập hệ phương trình hai ẩn u 1 và d, giải hệ phương

trình tìm u 1 và d, sau đó tính u 15  u 1  14 d

Cách giải:

2

2

2 6 2 2 12 4 5 0

x x x

x x

       

2

2 5( )

log 5 2 1( )

x

x

tm x ktm

      

Vậy  an là một cấp số cộng với công sai bằng 4.

Câu 15: Chọn C.

Phương pháp:

Dựa vào công thức tổng quát của cấp số nhân với công bội q ta có:

1

1. .

n un u q

 

Cách giải:

Ta có

3 3 u 4  u q 1.  64  q  q4.

Câu 16: Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng điều kiện để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân theo thứ tự đưa về giải phương trình lượng giác cơ

bản và tìm nghiệm thuộc khoảng theo yêu cầu bài toán.

Sử dụng tính chất của cấp số nhân :

2 u k uk  1 .u k 1.

Cách giải:

Ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân

sinx , cos , tanx 6

x

sinx .tan 2 cos 6

  x

sinx sinx 2 2 3 3 2 1 . cos sin 6 cos 6 cos cos 1 0 cos 6 cos 2

x x x x x x x

         

2 kết hợp với khi và chỉ khi 3

x k



     x  0; .

3

x





Câu 17: Chọn A.

Phương pháp:

+) Nhận xét dãy số trên là cấp số nhân, tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q.

+) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân

1

1. .

n un u q

 

Cách giải:

Dễ thấy dãy số (un) là 1 cấp số nhân có số hạng đầu tiên u 1 = 2 và công bội q = 2.

 Số hạng tổng quát

1 1

1. 2 2.

n n n un u q

    

Câu 18: Chọn D.

Phương pháp:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng un  u 1  ( n 1)d và công thức tổng n số hạng đầu tiên