Đề bài
Câu 1:Giới hạn [nếu tồn tại] nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \[y = f[x]\] tại \[{x_{0}}\]
A. \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f[x + \Delta x] - f[{x_0}]} \over {\Delta x}}\]
B. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f[x] - f[{x_0}]} \over {x - {x_0}}}\]
C. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f[x] - f[{x_0}]} \over {x - {x_0}}}\]
D. \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f[{x_0} + \Delta x] - f[x]} \over {\Delta x}}\]
Câu 2: Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.\]. Khi đó \[f'\left[ 0 \right]\]là kết quả nào sau đây?
A. \[{1 \over 4}\]
B. \[{1 \over {16}}\]
C. \[{1 \over 2}\]
D. 2
Câu 3: Đạo hàm của hàm số \[y = {[{x^3} - 2{x^2}]^{2016}}\]là
A. \[y' = 2016{[{x^3} - 2{x^2}]^{2015}}\]
B. \[y' = 2016{[{x^3} - 2{x^2}]^{2015}}[3{x^2} - 4x]\]
C. \[y' = 2016[{x^3} - 2{x^2}][3{x^2} - 4x]\]
D. \[y' = 2016[{x^3} - 2{x^2}][3{x^2} - 2x]\]
Câu 4: Cho hàm số \[f[x] = {{ - 4x - 3} \over {x + 5}}\] Đạo hàm của hàm số trên là
A. \[f'[x] = - {{17} \over {{{[x + 5]}^2}}}\]
B. \[f'[x] = - {{19} \over {{{[x + 5]}^2}}}\]
C. \[f'[x] = - {{23} \over {{{[x + 5]}^2}}}\]
D.\[f'[x] = {{17} \over {{{[x + 5]}^2}}}\]
Câu 5: Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{ {{\sqrt x } \over x}\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.\] Xét hai mệnh đề sau:
[I] Hàm số liên tục tại \[x_0=0\]
[II] Hàm số không có đạo hàm tại \[{x_0} = 0\]
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ [I]
B. Chỉ [II]
C. Cả 2 đều đúng
D. Cả 2 đều sai.
Câu 6: Cho hàm số \[f[x] = {1 \over 3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1\] Tập hợp những giá trị của x để \[f'[x] = 0\] là
A. \[\left\{ { - 2\sqrt 2 } \right\}\]
B. \[\left\{ {2;\sqrt 2 } \right\}\]
C. \[\left\{ { - 4\sqrt 2 } \right\}\]
D. \[\left\{ {2\sqrt 2 } \right\}\]
Câu 7: Cho hàm số \[f[x] = - 2\sqrt x + 3x\] Để \[f'[x] > 0\] thì x nhận các giá trị nào?
A. \[\left[ { - \infty ; + \infty } \right]\]
B. \[\left[ { - \infty ;{1 \over 9}} \right]\]
C. \[\left[ {{1 \over 9}; + \infty } \right]\]
D. \[\emptyset \]
Câu 8: Tìm m để hàm số \[y = [m - 1]{x^3} - 3[m + 2]{x^2} - 6[m + 2]x + 1\] có \[y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\]
A. \[m \ge 1\]
B. \[-2\le m \le 0\]
C. \[m \in \emptyset\]
D. \[m > 1 \]
Câu 9: Cho hàm số \[y = {{\cos 2x} \over {1 - \sin x}}\] Tính \[y'\left[ {{\pi \over 6}} \right]\]bằng
A.1
B. -1
C. \[\sqrt 3 \]
D. \[- \sqrt 3 \]
Câu 10: Hàm số \[y = \cot 3x - {1 \over 2}\tan 2x\]có đạo hàm là
A. \[{{ - 3} \over {{{\sin }^2}3x}} + {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\]
B. \[{{ - 3} \over{{{\sin }^2}3x}} - {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\]
C. \[{{ - 3} \over {{{\sin}^2}3x}} - {x \over {{{\cos }^2}2x}}\]
D. \[{{ - 1} \over {{{\sin }^2}x}} - {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\]
Câu 11: Tìm vi phân của hàm số \[y = \sqrt {3x + 2} \]
A. \[dy = {3 \over {\sqrt {3x + 2} }}dx\]
B. \[dy = {1 \over {2\sqrt {3x + 2} }}dx\]
C. \[dy = {1 \over {\sqrt {3x + 2} }}dx\]
D. \[dy = {3 \over {2\sqrt {3x + 2} }}dx\]
Câu 12: Cho hàm số \[y = {{x + 3} \over {1 - 2x}}\] Vi phân của hàm số trên tại \[x = -3\] là
A. \[dy = {1 \over 7}dx\]
B. \[dy = 7dx\]
C. \[dy = {{ - 1} \over 7}dx\]
D. \[dy = - 7dx\]
Câu 13: Hàm số \[y = {x \over {x - 2}}\]có đạo hàm cấp hai là
A. \[y'' = 0\]
B. \[y'' = {1 \over {{{[x - 2]}^2}}}\]
C. \[y'' = - {4 \over {{{[x - 2]}^2}}}\]
D. \[y'' = {4 \over {{{[x - 2]}^3}}}\]
Câu 14: Cho hàm số \[y = f[x]\], có đồ thị [C] và điểm \[{M_0}[{x_0};f[{x_0}]] \in [C]\] Phương trình tiếp tuyến của [C] tại M0 là
A. \[y = f'[x][x - {x_0}] + {y_0}\]
B. \[y = f'[{x_0}][x - {x_0}]\]
C. \[y - {y_0} = f'[{x_0}][x - {x_0}]\]
D. \[y - {y_0} = f'[{x_0}]x\]
Câu 15: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {1 \over {\sqrt {2x} }}\]tại điểm \[A\left[ {{1 \over 2};1} \right]\]có phương trình là
A. \[2x + 2y = - 3\]
B. \[2x - 2y = - 1\]
C. \[2x + 2y = 3\]
D. \[2x - 2y = 1\]
Câu 16: Gọi [C] là đồ thị của hàm số \[y = {x^4} + x\] Tiếp tuyến của [C] vuông góc với đường thẳng \[d:x + 5y = 0\]có phương trình là
A. \[y = 5x - 3\]
B. \[y = 3x - 5\]
C. \[y = 2x - 3\]
D. \[y = x + 4\]
Câu 17: Cho hàm số \[y = {{2x + 2} \over {x - 1}}\][C]. Viết phương trình tiếp tuyến của [C ] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[d:y = - 4x + 1\]
A. \[y = - 4x - 2;y = - 4x + 14\]
B. \[y = - 4x + 21;y = - 4x + 14\]
C. \[y = - 4x + 2;y = - 4x + 1\]
D. \[y = - 4x + 12;y = - 4x + 14\]
Câu 18: Cho hàm số \[y = {x \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\] Khi đó \[y'[0]\] bằng
A. \[{1 \over 2}\]
B. \[{1 \over 3}\]
C. 1
D. 2
Câu 19: Đạo hàm của hàm số \[y = x\sqrt {{x^2} - 2x} \] là
A. \[y' = {{2x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\]
B. \[y' = {{3{x^2} - 4x} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\]
C. \[y' = {{2{x^2} - 3x} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\]
D.\[y' = {{2{x^2} - 2x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\]
Câu 20: Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] xác định: \[f\left[ x \right] = \left\{ \matrix{{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \over x}\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.\] Giá trị của \[f'\left[ 0 \right]\] bằng:
A. \[{1 \over 2}\]
B. \[- {1 \over 2}\]
C. \[- 2\]
D. Không tồn tại.
Câu 21: Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {{{x^2} + \left| {x + 1} \right|} \over x}\] Tính đạo hàm của hàm số tại \[{x_0} = - 1\]
A. 2
B. 1
C. 0
D. Không tồn tại.
Câu 22: Cho hàm số \[f\left[ x \right] = x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]...\left[ {x - 1000} \right]\] Tính \[f'\left[ 0 \right]\]?
A. 10000!
B. 1000!
C. 1100!
D. 1110!
Câu 23: Hàm số \[y = {\left[ {{x^2} + 1} \right]^3}\]có đạo hàm cấp ba là:
A. \[y''' = 12x\left[ {{x^2} + 1} \right]\]
B. \[y''' = 24x\left[ {{x^2} + 1} \right]\]
C. \[y''' = 24x\left[ {5{x^2} + 3} \right]\]
D. \[y''' = - 12x\left[ {{x^2} + 1} \right]\]
Câu 24: Giả sử \[h\left[ x \right] = 5{\left[ {x + 1} \right]^3} + 4\left[ {x + 1} \right]\] Tập nghiệm của phương trình \[h''\left[ x \right] = 0\] là:
A. \[\left[ { - 1;2} \right]\]
B. \[\left[ { - \infty ;0} \right]\]
C. \[\left\{ { - 1} \right\}\]
D. \[\emptyset \]
Câu 25: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\] tại điểm có hoành độ bằng \[2\] có hệ số góc \[k = ?\]
A. \[k = - 1\]
B. \[k = - 3\]
C. \[k = 3\]
D. \[k = 5\]
Lời giải chi tiết
Đáp án:
|
1C |
2A |
3B |
4A |
5B |
|
6D |
7C |
8C |
9D |
10B |
|
11D |
12A |
13D |
14C |
15C |
|
16A |
17A |
18A |
19C |
20A |
|
21D |
22B |
23C |
24C |
25B |
Câu 1: Đáp án C
Giới hạn [nếu tồn tại] dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \[y = f\left[ x \right]\] tại \[{x_{^0}}\]là: . \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f[x] - f[{x_0}]}}{{x - {x_0}}}\]
Câu 2: Đáp án A
\[f'[0] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f[x] - f[0]}}{{x - 0}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{x[2 + \sqrt {4 - x} ]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{4}\]
Câu 3: Đáp án B
y = 2016[ x3 - 2x2]2015[x3 2x2] = 2016[ x3 - 2x2]2015[3x2 -4x]
Câu 4: Đáp án A
\[f'[x] = \dfrac{{[ - 4x - 3]'[x + 5] - [x + 5]'[ - 4x - 3]}}{{{{\left[ {x + 5} \right]}^2}}} \]
\[\;\;\;= \dfrac{{ - 4[x + 5] - [ - 4x - 3]}}{{{{\left[ {x + 5} \right]}^2}}} \]
\[\;\;\;= \dfrac{{ - 4x - 20 + 4x + 3}}{{{{\left[ {x + 5} \right]}^2}}} = \dfrac{{ - 17}}{{{{\left[ {x + 5} \right]}^2}}}\]
Câu 5: Đáp án B
Ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x}\] \[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \]
Không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right]\] nên hàm số không liên tục tại \[{x_0} = 0\] nên [I] sai.
Do đó hàm số không có đạo hàm tại \[{x_0} = 0\] nên [II] đúng.
Câu 6: Đáp án D
\[\begin{array}{l}f'[x] = {\left[ {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1} \right]^\prime } \\= {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8\\f'[x] = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 2\sqrt 2 } \right]^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 \end{array}\]
Vậy \[f'[2\sqrt 2 ] = 0\]
Câu 7: Đáp án C
\[\begin{array}{l}f'[x] = [ - 2\sqrt x + 3x]' = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} + 3\\f'[x] > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} + 3 > 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} > - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt x > \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{9}\end{array}\]
Vậy \[x \in \left[ {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right]\]
Câu 8: Đáp án C
\[\begin{array}{l}y' = \left[ {\left[ {m - 1} \right]{x^3} - 3\left[ {m + 2} \right]{x^2} - 6\left[ {m + 2} \right]x + 1} \right]'\\ = 3\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 6\left[ {m + 2} \right]x - 6\left[ {m + 2} \right]\\y' \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow 3\left[ {m - 1} \right]{x^2} - 6\left[ {m + 2} \right]x - 6\left[ {m + 2} \right] \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left[ {m - 1} \right]{x^2} - 2\left[ {m + 2} \right]x - 2\left[ {m + 2} \right] \ge 0,\forall x \in R\end{array}\]
Với \[m = 1\] thì \[y' = - 18x - 18 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\] nên không thỏa mãn bài toán.
Do đó
\[\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\{\left[ {m + 2} \right]^2} + 2\left[ {m - 1} \right]\left[ {m + 2} \right] \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ {m + 2} \right]\left[ {m + 2 + 2m - 2} \right] \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ {m + 2} \right].3m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2 \le m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}\]
Do đó không có m thỏa mãn bài toán.
Câu 9: Đáp án D
\[y' = \left[ {\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin x}}} \right]' \\\;\;\;= \dfrac{{\left[ {\cos 2x} \right]'\left[ {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right] - \left[ {1 - \sin x} \right]{\rm{'cos}}2x}}{{{{\left[ {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]}^2}}} \\\;\;\;= \dfrac{{ - 2\sin 2x[1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}] + \cos x\cos 2x}}{{{{\left[ {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]}^2}}}\]
\[y'\left[ {\dfrac{\pi }{6}} \right] = \dfrac{{ - 2\sin \dfrac{\pi }{3}\left[ {1 - \sin \dfrac{\pi }{6}} \right] + \cos \dfrac{\pi }{6}\cos \dfrac{\pi }{3}}}{{{{\left[ {1 - \sin \dfrac{\pi }{6}} \right]}^2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left[ {1 - \dfrac{1}{2}} \right] + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}}{{{{\left[ {1 - \dfrac{1}{2}} \right]}^2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{\dfrac{{ - \sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{1}{4}}} = - \sqrt 3 \]
Câu 10: Đáp án B
\[y' = \left[ {\cot 3x - \dfrac{1}{2}\tan 2x} \right]' \]\[\;= \left[ {\cot 3x} \right]' - \left[ {\dfrac{1}{2}\tan 2x} \right]' \]\[\;= - \dfrac{3}{{{{\left[ {\sin 3x} \right]}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left[ {\cos 2x} \right]}^2}}}\]
Câu 11: Đáp án D
\[dy = d[\sqrt {3x + 2} ] = \left[ {\sqrt {3x + 2} } \right]'dx \]\[\;= \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}dx\]
Câu 12: Đáp án A
\[\begin{array}{l}dy = d\left[ {\dfrac{{x + 3}}{{1 - 2x}}} \right] \\\;\;\;= {\left[ {\dfrac{{x + 3}}{{1 - 2x}}} \right]^\prime }dx \\\;\;\;= \dfrac{{[x + 3]'[1 - 2x] - {{\left[ {1 - 2x} \right]}^\prime }[x + 3]}}{{{{\left[ {1 - 2x} \right]}^2}}}dx\\\;\;\; = \dfrac{{1 - 2x + 2[x + 3]}}{{{{\left[ {1 - 2x} \right]}^2}}}dx\\\;\;\; = \dfrac{7}{{{{\left[ {1 - 2x} \right]}^2}}}dx\end{array}\]
Tại x = -3 ta được \[dy = \dfrac{7}{{{{\left[ {1 - 2.[ - 3]} \right]}^2}}}dx = \dfrac{7}{{49}}dx = \dfrac{1}{7}dx\]
Câu 13: Đáp án D
\[y' = \left[ {\dfrac{x}{{x - 2}}} \right]' \]
\[= \dfrac{{x'[x - 2] - \left[ {x - 2} \right]'x}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}} \]\[\;= \dfrac{{x - 2 - x}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}\]
\[y'' = {\left[ {\dfrac{{ - 2}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}} \right]^\prime } \]\[= - 2.\frac{{ - \left[ {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left[ {x - 2} \right]}^2}} \right]}^2}}} = - 2.\frac{{ - 2\left[ {x - 2} \right]}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^4}}}\] \[= \dfrac{4}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^3}}}\]
Câu 14: Đáp án C
Hàm số \[y = f[x]\], có đồ thị [C] và điểm \[{M_0}[{x_0};f[{x_0}]] \in [C]\]. Phương trình tiếp tuyến của [C] tại M0 là \[y = f'[{x_0}][x - {x_0}] + {y_o}\]
Câu 15: Đáp án C
Ta có:
\[y' = \left[ {\frac{1}{{\sqrt {2x} }}} \right]' = - \frac{{\left[ {\sqrt {2x} } \right]'}}{{{{\left[ {\sqrt {2x} } \right]}^2}}} \] \[= - \frac{{\frac{2}{{2\sqrt x }}}}{{2x}} = - \frac{1}{{2x\sqrt {2x} }}\]
Suy ra \[y'\left[ {\frac{1}{2}} \right] = - \frac{1}{{2.\frac{1}{2}\sqrt {2.\frac{1}{2}} }} = - 1\]
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}\] tại điểm \[A\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right]\]là:
\[y = f'[\dfrac{1}{2}].[x - \dfrac{1}{2}] + 1 \] \[= - 1[x - \dfrac{1}{2}] + 1 = - x + \dfrac{3}{2}\] hay \[2x + 2y = 3\]
Câu 16: Đáp án A
[C]: y = x4 + x
d: x + 5y=0
Ta có: y = 4x3 + 1
Đường thẳng x + 5y = 0\[\Leftrightarrow y = - \frac{1}{5}x\]có hệ số góc k1 = \[ - \dfrac{1}{5}\]
Vì tiếp tuyến của [C] vuông góc với d nên có hệ số góc k = 5
Ta có: f[x0] = 5 \[ \Leftrightarrow \]4x03 + 1 = 5 \[ \Rightarrow \]x0 = 1
Suy ra y0 = x04 + x0 = 1 + 1 = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến của [C] là: y = 5[x 1] + 2 hay y = 5x 3
Câu 17: Đáp án A
[C]: \[y = \dfrac{{2x + 2}}{{x - 1}}\]
\[d:y = - 4x + 1\]
Ta có \[y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{[x - 1]}^2}}}\]
Đường thẳng \[y = - 4x + 1\] có hệ số góc k = -4
Vì tiếp tuyến của [C] song song với d nên có hệ số góc k = -4
Ta có: f[x0] = -4 \[ \Leftrightarrow \]\[\dfrac{{ - 4}}{{{{[{x_0} - 1]}^2}}} = - 4 \Leftrightarrow {[{x_0} - 1]^2} = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\]hoặc \[{x_0} = 2\]
Với \[{x_0} = 0\] thì y0 = -2
Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -4x 2
Với \[{x_0} = 2\] thì y0 = 6
Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -4[x 2] + 6 \[ \Leftrightarrow \]y = -4x +14
Vậy tìm được 2 pttt của [C] thỏa mãn bài toán là: y = -4x 2 và y = -4x + 14
Câu 18: Đáp án A
\[\begin{array}{l}y' = {\left[ {\dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \right]^\prime } \\\;\;\;= \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}} \\\;\;\;= \dfrac{{4 - {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {{{[4 - {x^2}]}^3}} }}\\\;\;\; = \dfrac{4}{{\sqrt {{{[4 - {x^2}]}^3}} }}\\y'[0] = \dfrac{4}{{\sqrt {{4^3}} }} = \dfrac{1}{2}\end{array}\]
Câu 19: Đáp án C
\[y' = [x\sqrt {{x^2} - 2x} ]'\]
\[\;\;\;= \sqrt {{x^2} - 2x} + \dfrac{{[x - 1]x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} \]
\[\;\;\;= \dfrac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\]
\[\;\;\;= \dfrac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\]
Câu 20: Đáp án A
\[\begin{array}{l}f'[0] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f[x] - f[0]}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{[\sqrt {{x^2} + 1} - 1][\sqrt {{x^2} + 1} + 1]}}{{{x^2}[\sqrt {{x^2} + 1} + 1]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}[\sqrt {{x^2} + 1} + 1]}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\]
Câu 21: Đáp án D
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ - } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ - } \dfrac{{{x^2} + 1 - x}}{x}\\ = - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ + } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ + } \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{x} = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ - } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ + } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}\end{array}\]
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x0 = -1
Câu 22: Đáp án B
\[\begin{array}{l}f\left[ x \right] = x\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]...\left[ {x - 1000} \right]\\\end{array}\]
Đặt \[g[x] = \left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 2} \right]...\left[ {x - 1000} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow f[x] = x.g[x]\\f'[x] = g[x] - x.g'[x]\\ \Rightarrow f'[0] = g[0]\\= [ - 1].[ - 2]...[ - 1000] \\= 1.2.....1000 = 1000!\end{array}\]
Câu 23: Đáp án C
\[\begin{array}{l}
y = {\left[ {{x^2} + 1} \right]^3}\\
= {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1\\
y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x\\
y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6\\
y''' = 120{x^3} + 72x = 24x\left[ {5{x^2} + 3} \right]
\end{array}\]
Cách khác:
\[\begin{array}{l}y' = {\left[ {{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^3}} \right]^\prime } \\= 3{\left[ {{x^2} + 1} \right]^\prime }{\left[ {{x^2} + 1} \right]^2} = 6x{\left[ {{x^2} + 1} \right]^2}\\y'' = {\left[ {6x{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^2}} \right]^\prime }\\\;\;\; = 6{\left[ {{x^2} + 1} \right]^2} + 6x{\left[ {{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^2}} \right]^\prime } \\\;\;\;= \left[ {6{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^2} + 24{x^2}\left[ {{x^2} + 1} \right]} \right]\\y''' = \left[ {6{{\left[ {{x^2} + 1} \right]}^2} + 24{x^2}\left[ {{x^2} + 1} \right]} \right]' \\\;\;\;= 24x\left[ {{x^2} + 1} \right] + 48x\left[ {{x^2} + 1} \right] + 48{x^3} \\\;\;\;= 24x[{x^2} + 1 + 2\left[ {{x^2} + 1} \right] + 2{x^2}]\\ \;\;\;= 24x[5{x^2} + 3]\end{array}\]
Câu 24: Đáp án C
\[\begin{array}{l}h'\left[ x \right] = {\left[ {5{{\left[ {x + 1} \right]}^3} + 4\left[ {x + 1} \right]} \right]^\prime }\\ = 15{\left[ {x + 1} \right]^2} + 4\\h''[x] = {\left[ {15{{\left[ {x + 1} \right]}^2} + 4} \right]^\prime } = 30\left[ {x + 1} \right]\\h''[x] = 0 \Leftrightarrow 30\left[ {x + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow x = - 1\end{array}\]
Câu 25: Đáp án B
\[y' = {\left[ {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right]^\prime } \]
\[= \dfrac{{2[x - 1] - [2x + 1]}}{{{{[x - 1]}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{[x - 1]}^2}}}\]
\[y'[2] = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left[ {2 - 1} \right]}^2}}} = - 3\]