Đề bài
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn. Chứng minh hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của hai đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC và ACD với AC.
Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau chứng minh
\[\begin{array}{l}2CM = CM + CJ = AC + BC - AB\\2CN = CN + CP = AC + CD - AD\end{array}\]
Xét hiệu \[2\left[ {CM - CN} \right]\], chứng minh \[2\left[ {CM - CN} \right] = 0 \Rightarrow M \equiv N\].
Lời giải chi tiết
Gọi E, F, G, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA.
Gọi I, J, M lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với AB, BC, AC.
Gọi N, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ACD với AC, CD, AD.
Ta có:
\[2CM = CM + CJ = AC - AM + BC - BJ \]\[\,= AC + BC - \left[ {AI + BI} \right] = AC + BC - AB\]
[Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau].
Chứng minh tương tự ta có:
\[2CN = CN + CP = AC - AN + CD - DP \]\[\,= AC + CD - \left[ {AQ + DQ} \right] = AC + CD - AD\]
[Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left[ {CM - CN} \right] = BC + AD - \left[ {AB + CD} \right]\\ = BF + CF + AH + DH - AE - BE - CG - DG\\ = \left[ {BF - BE} \right] + \left[ {CF - CG} \right] + \left[ {AH - AE} \right] + \left[ {DH - DG} \right]\\ = 0\end{array}\]
[Áp dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau].
\[ \Rightarrow CM = CN \Rightarrow M \equiv N\].
Vậy hai đường trònnội tiếp hai tam giác ABC và ACD tiếp xúc nhau.