Đề bài
Cho phương trình \[{x^2} - 2mx + m - 2 = 0\] [m là tham số]
a] Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b] Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức \[M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a]Để chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ta chứng minh cho \[\Delta \left[ {\Delta '} \right] > 0,\forall m\]
b] Biến đổi biểu thức M về biểu thức có chứa \[{x_1} + {x_1};{x_1}.{x_2}\] sau đó thay hệ thức Viet \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\] vào M ta rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó.
Lời giải chi tiết
a] \[{x^2} - 2mx + m - 2 = 0\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Xét
\[\begin{array}{l}\Delta ' = {\left[ { - m} \right]^2} - \left[ {m - 2} \right] \\\;\;\;\;\;= {m^2} - m + 2\\ \;\;\;\;\;= {m^2} - 2.\dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} + 2\\\;\;\;\;\; = {\left[ {m - \dfrac{1}{2}} \right]^2} + \dfrac{7}{4} > 0,\forall m\end{array}\]
Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b] Do phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\] nên áp dụng hệ thức Viet cho phương trình [1] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\]
\[\begin{array}{l}M = \dfrac{{ - 24}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2} - 6{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 8{x_1}{x_2}}}\\\;\;\;\;\; = \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8\left[ {m - 2} \right]}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 24}}{{4{m^2} - 8m + 16}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{6}{{ - {m^2} + 2m - 4}}\end{array}\]
M đạt giá trị nhỏ nhất khi \[ - {m^2} + 2m - 4\] đạt giá trị lớn nhất
Ta có: \[ - {m^2} + 2m - 4 \]\[\,= - \left[ {{m^2} - 2m + 4} \right] \]\[\,= - \left[ {{{\left[ {m - 1} \right]}^2} + 3} \right] \]\[\,= - {\left[ {m - 1} \right]^2} - 3 \le - 3,\forall m\]
Khi đó ta có: \[M \ge \dfrac{6}{{ - 3}} = - 2 \Leftrightarrow m = 1\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là -2 khi m = 1.