Đề bài
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C, D. Vẽ dây cung CE vuông góc với AB tại H,vẽ AK vuông góc với CD tại K và cắt đường tròn tại F.
Chứng minh DE = BF
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Chứng minh CD // BF
+] Chứng minh \[BC = BE \Rightarrow cung\,BC = cung\,BE\], từ đó suy ra \[\Rightarrow cung\,CF = cung\,BD \Rightarrow cung\,DF = cung\,BC\].
Lời giải chi tiết
Xét tam giác ABF có \[OF = \dfrac{1}{2}AB = R \Rightarrow \Delta ABF\]vuông tại F \[ \Rightarrow AF \bot BF\]
Mà \[AF \bot CD\,\,\left[ {gt} \right] \Rightarrow BF//CD \]
\[\Rightarrow cung\,CF = cung\,BC\,\,\,\left[ 1 \right]\].
=> cung DF = cung BC
Ta có \[AB \bot CE\] tại H \[ \Rightarrow H\] là trung điểm của CE [Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung] \[ \Rightarrow AB\] là trung trực của CE \[\Rightarrow BC = BE \]
\[\Rightarrow cung\,BC = cung\,BE\,\,\left[ 2 \right]\][Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow cung\,BE = cung\,DF \]
\[\Rightarrow cung\,DE = cung\,BF\] \[ \Rightarrow DE = BF\] [Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau] [đpcm].