Đề bài
Cho đường tròn [O] và hai dây cung AB, CD bằng nhau và cắt tại điểm M khác O nằm bên trong đường tròn [C nằm trên cung nhỏ AB và B nằm trên cung nhỏ CD].
a] Chứng minh cung AC=BD .
b] Chứng minh hai tam giác MAC và MDB bằng nhau.
c] Tứ giác ACBD là hình gì?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Cộng trừ cung.
b] Chứng minh hai tam giác MAC và MDB bằng nhau theo trường hợp g-c-g.
c] Chứng minh hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau \[ \Rightarrow AD//BC\].
Chứng minh hình thang ADBC có hai góc ở đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[AB = CD \Rightarrow cung\,AB = cung\,CD\] [hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau]
\[ \Rightarrow cung\,AB - cung\,BC = cung\,CD - cung\,BC \] \[\Leftrightarrow cung\,AC = cung\,BD\].
b] Xét \[\Delta MAC\] và \[\Delta MDB\] có:
\[cung\,AC = cung\,BD \Rightarrow AC = BD\] [hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau]
\[\widehat {MAC} = \widehat {MDB}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC]
\[\widehat {MCA} = \widehat {MBD}\] [hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD]
\[ \Rightarrow \Delta MAC = \Delta MDB\,\,\left[ {g.c.g} \right]\]
c] Ta có \[cung\,AC = cung\,BD \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {BAD}\] [trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau].
Mà hai góc này ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow AD//BC \Rightarrow ACBD\] là hình thang.
\[cung\,AB = cung\,CD \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {CAD}\] [trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau].
Do đó ACBD là hình thang cân.