Đề bài
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng\[Δ :4x + 3y 2 = 0\] và tiếp xúc với hai đường thẳng\[d_1: x + y + 4 = 0\] và \[d_2:7x y + 4 = 0.\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
\[\Delta \] có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {4;3} \right] \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {3; - 4} \right]\] là VTCP của \[\Delta \].
Cho \[x = 2 \Rightarrow 4.2 + 3y - 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow y = - 2\] nên \[\Delta \] đi qua điểm \[M\left[ {2; - 2} \right]\]
PTTS của \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2 - 4t\end{array} \right.\].
Tâm \[I \in \Delta \Rightarrow I\left[ {2 + 3t; - 2 - 4t} \right]\].
\[\left[ C \right]\] tiếp xúc \[{d_1},{d_2}\] \[ \Leftrightarrow d\left[ {I,{d_1}} \right] = d\left[ {I,{d_2}} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2 + 3t - 2 - 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\\ = \dfrac{{\left| {7\left[ {2 + 3t} \right] + 2 + 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4 - t} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {25t + 20} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left| {4 - t} \right| = \left| {5t + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - t = 5t + 4\\4 - t = - 5t - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6t = 0\\4t = - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 2\end{array} \right.\end{array}\]
Với \[t = 0\] thì \[I\left[ {2; - 2} \right]\], bán kính \[R = d\left[ {I,{d_1}} \right]\] \[ = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow \left[ {{C_1}} \right]:{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} = 8\]
Với \[t = - 2\] thì \[I\left[ { - 4;6} \right]\], bán kính \[R = d\left[ {I,{d_1}} \right]\] \[ = \dfrac{{\left| { - 4 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow \left[ {{C_1}} \right]:{\left[ {x + 4} \right]^2} + {\left[ {y - 6} \right]^2} = 18\]
Cách khác:
Ta biết đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì có tâm nằm trên đường phân giác của góc đó.
\[ \Rightarrow \] Tâm \[I\] của đường tròn cần tìm là giao điểm của \[Δ\] với các đường phân giác của các góc tại bởi hai đường thẳng \[d_1\]và \[d_2\].
Ta viết phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc do \[d_1\]và \[d_2\]tạo thành.
Gọi \[M\left[ {x;y} \right]\] thuộc đường phân giác của góc tạo bởi \[d_1,d_2\].
Khi đó
\[\begin{array}{l}d\left[ {M,{d_1}} \right] = d\left[ {M,{d_2}} \right]\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + y + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\left| {7x - y + 4} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + y + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {7x - y + 4} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow 5\left| {x + y + 4} \right| = \left| {7x - y + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\left[ {x + y + 4} \right] = 7x - y + 4\\5\left[ {x + y + 4} \right] = - 7x + y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + 5y + 20 = 7x - y + 4\\5x + 5y + 20 = - 7x + y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 6y - 16 = 0\\12x + 4y + 24 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3y - 8 = 0\\3x + y + 6 = 0\end{array} \right.\end{array}\]
\[ \Rightarrow \] hai đường phân giác lần lượt là \[{\Delta _1}:x - 3y - 8 = 0\] và \[{\Delta _2}:3x + y + 6 = 0\].
TH1: \[I = \Delta \cap {\Delta _1}\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 8 = 0\\4x + 3y - 2 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left[ {2; - 2} \right]\]
Bán kính \[R = d\left[ {I,{d_1}} \right]\] \[ = \dfrac{{\left| {0 + 0 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow \left[ {{C_1}} \right]:{\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y + 2} \right]^2} = 8\]
TH2: \[I = \Delta \cap {\Delta _2}\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y + 6 = 0\\4x + 3y - 2 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow I\left[ { - 4;6} \right]\]
Bán kính \[R = d\left[ {I,{d_1}} \right]\] \[ = \dfrac{{\left| { - 4 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow \left[ {{C_1}} \right]:{\left[ {x + 4} \right]^2} + {\left[ {y - 6} \right]^2} = 18\].