Đề bài
Trong không gian \[Oxyz\] cho ba vectơ
\[\overrightarrow a = [ - 1;1;0]\], \[\overrightarrow b = [1;1;0]\]và \[\overrightarrow c = [1;1;1]\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
[A] \[\overrightarrow a .\overrightarrow c = 1;\]
[B] \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b \] cùng phương;
[C] cos [\[\overrightarrow b \], \[\overrightarrow c \]]= \[{2 \over {\sqrt 6 }}\];
[D] \[\overrightarrow a \]+ \[\overrightarrow b \]+ \[\overrightarrow c \]= \[\overrightarrow 0 \]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow a \left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right];\,\,\overrightarrow b \left[ {{x_2};{y_2};{z_2}} \right]\\
\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}
\end{array}\]
\[\overrightarrow a ;\overrightarrow b \] cùng phương\[ \Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b \][\[k \ne 0\]]
\[\cos \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\]
\[\overrightarrow a \left[ {{x_1};{y_1};{z_1}} \right] = \overrightarrow 0 \] \[\Leftrightarrow {x_1} = {y_1} = {z_1} = 0\]
Lời giải chi tiết
\[\overrightarrow a .\overrightarrow c = - 1.1 + 1.1 + 0.1 = 0 \Rightarrow \] A sai.
Dễ thấy không tồn tại hằng số \[k \ne 0\]để\[ \Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b \] nên B sai.
\[\cos \left[ {\overrightarrow b ;\overrightarrow c } \right] = \dfrac{{\overrightarrow b .\overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|.\left| {\overrightarrow c } \right|}}\] \[ = \dfrac{{1.1 + 1.1 + 0.1}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} \] \[= \dfrac{2}{{\sqrt 2 .\sqrt 3 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 6 }} \]
\[\Rightarrow \] C đúng.
\[\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \] \[= \left[ { - 1 + 1 + 1;1 + 1 + 1;0 + 0 + 1} \right]\] \[ = \left[ {1;3;1} \right] \ne \overrightarrow 0 \Rightarrow D\] sai.
Chọn [C].