Đề bài
Cho hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\]. Gọi \[E\] và \[F\] theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \[BB'\] và \[DD'\]. Mặt phẳng \[[CEF]\] chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[[CEF]\].
+] Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Lời giải chi tiết
Ta xác định thiết diện của hình hộp \[\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\] khi cắt bởi \[\displaystyle [CEF]\]. Mặt phẳng \[\displaystyle [CEF]\] chứa đường thẳng \[\displaystyle EF\] mà \[\displaystyle E\] là trung điểm của \[\displaystyle BB', F\] là trung điểm của \[\displaystyle CC'\].
\[\displaystyle O \in EF \Rightarrow O \in [CEF] \Rightarrow CO \subset \left[ {CEF} \right]\]
\[\displaystyle A' \in CO \Rightarrow A' \in \left[ {CEF} \right]\]
Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành \[\displaystyle CEA'F\].
Mặt phẳng \[[CEA'F]\] chia khối hộp thành 2 phần: \[ABCD.A'ECF\] [\[\displaystyle V_1\]] và \[A'B'C'D'.CEA'F\] [\[\displaystyle V_2\]]
Qua \[\displaystyle EF\] ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt \[\displaystyle AA'\] ở \[\displaystyle P\] và cắt \[\displaystyle CC'\] ở \[\displaystyle Q\].
Ta có:
\[\displaystyle \begin{array}{l}
{V_{ABCD.A'ECF}} = {V_{ABCD.EFP}} + {V_{A'.PEF}}\\
{V_{A'PEF}} = {V_{C.QEF}}
\end{array}\]
\[\Rightarrow {V_{ABCD.A'ECF}} = {V_{ABCD.EFP}} + {V_{C.QEF}} \] \[= {V_{ABCD.EPFQ}} = \dfrac{1}{2}V\]
Do đó\[\displaystyle {V_1} = {V_2} = \dfrac{1}{2}V \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\].
Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm \[\displaystyle O\] của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng \[\displaystyle [CEF]\] chứa điểm \[\displaystyle O\] nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm \[\displaystyle O\]. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.