Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Phát biểu các điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
LG a
\[\displaystyle y = - {x^3} + 2{x^2} - x - 7\]
Phương pháp giải:
B1: Tính đạo hàm \[y'\]
B2: Tìm nghiệm của phương trình \[y'=0 \], các giá trị của x mà tại đó hàm số k xác định
B3: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến
Biết rằng
a] Nếu \[f'[x]> 0\] với mọi \[x \in[a; \, b]\] thì hàm số \[f[x]\] đồng biến trên khoảng đó.
b] Nếu \[f'[x]< 0\] với mọi \[x \in[a; \, b]\] thì hàm số \[f[x]\] nghịch biến trên khoảng đó.
Lời giải chi tiết:
* Xét hàm số: \[\displaystyle y = - {x^3} +2{x^2} - x - 7\]
Tập xác định: \[\displaystyle D =\mathbb R\]
Ta có:\[\displaystyle y' = - 3{x^2} + 4x - 1 \Rightarrow y' = 0\]
\[\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {3x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{1}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\]
Hàm số đồng biến\[\displaystyle \Leftrightarrow y' > 0\] \[ \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 > 0\]
\[\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 < 0 \\\Leftrightarrow \left[ {3x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1.
\end{array}\]
Hàm số nghịch biến\[\displaystyle \Leftrightarrow y' < 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 4x - 1 < 0\]
\[\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{x^2} - 4x + 1 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ {3x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] > 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 1\\
x < \dfrac{1}{3}
\end{array} \right..
\end{array}\]
Vậy hàm số đồng biến trong \[\displaystyle [{1 \over 3},1]\]và nghịch biến trong \[\displaystyle [ - \infty ,{1 \over 3}] \] và \[\displaystyle [1, + \infty ].\]
LG b
\[\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}}\]
Lời giải chi tiết:
Xét hàm số:\[\displaystyle y = {{x - 5} \over {1 - x}} = \dfrac{x-5}{-x+1}\]
Tập xác định: \[\displaystyle D = \mathbb R \backslash {\rm{\{ }}1\} \]
Ta có: \[\displaystyle y' = \dfrac{1.1-5.1}{[1-x]^2}= {{ - 4} \over {{{[1 - x]}^2}}} < 0,\forall x \in D\]
Vậy hàm số nghịch biến trong từng khoảng \[\displaystyle [-,1]\] và \[\displaystyle [1, +]\].