Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Cho hàm số:\[y = {x^4} + a{x^2} + b.\]
LG a
a] Tính \[a,\, b\] để hàm số có cực trị bằng \[\displaystyle{3 \over 2}\]khi \[x = 1.\]
Phương pháp giải:
Hàm số \[y=f[x]\] đạt cực trị tại điểm \[x=x_0 \Leftrightarrow x_0\] là nghiệm của của phương trình \[y'=0.\]
+] Điểm cực trị thuộc đồ thị hàm số nên tọa độ của điểm đó thỏa mãn công thức hàm số.
+] Từ hai điều trên ta có hệ phương trình hai ẩn \[a, \, b.\] Giải hệ phương trình ta tìm được \[a, \, b.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:\[y' = 4{x^3} + 2ax.\]
a] Nếu hàm số có cực trị bằng \[\displaystyle{3 \over 2}\]khi \[x = 1\] thì: ta có đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ\[\left[ {1;\;\dfrac{3}{2}} \right]\] và có\[y'\left[ 1 \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y'[1] = 0 \hfill \cr
y[1] = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4 + 2a = 0 \hfill \cr
1 + a + b = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\]
LG b
b] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \[[C]\] của hàm số đã cho khi \[\displaystyle a = {{ - 1} \over 2}, \, \,b = 1.\]
Phương pháp giải:
Với các giá trị cho trước của \[a\] và \[b\] ta thay vào hàm số và khảo sát, vẽ đồ thị hàm số theo các bước đã học.
Lời giải chi tiết:
Khi \[\displaystyle a = {{ - 1} \over 2},b = 1\]ta có hàm số: \[\displaystyle y = {x^4} - {1 \over 2}{x^2} + 1\]
- Tập xác định: \[[-; +].\]
- Sự biến thiên:\[y' = 4{x^3} - x = x\left[ {4{x^2} - 1} \right].\]
\[\begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x\left[ {4{x^2} - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
4{x^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \dfrac{1}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\]
Trên các khoảng \[\displaystyle [{{ - 1} \over 2};0]\] và \[\displaystyle [{1 \over 2}\; + \infty ]\] có \[ y > 0\] nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng \[\displaystyle [ - \infty ; {{ - 1} \over 2}] \] và \[ \displaystyle [0;{1 \over 2}]\] có \[ y < 0\] nên hàm số nghịch biến.
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại\[x = 0;\;\;{y_{CD}} = 1.\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[\displaystyle x = \pm {1 \over 2}; \,{y_{CT}} = {{15} \over {16}}.\]
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \[y = 1\], không cắt trục hoành.
LG c
c] Viết phương trình tiếp tuyến của\[[C]\] tại các điểm có tung độ bằng \[1.\]
Phương pháp giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y=f[x]\] tại điểm \[x=x_0\] có công thức:\[y = y'\left[ {{x_0}} \right]\left[ {x - {x_0}} \right] + {y_0}.\]
Lời giải chi tiết:
Với \[y = 1\] ta có phương trình:
\[\displaystyle {x^4} - {1 \over 2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0, \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \right\}\]
Trên đồ thị có 3 điểm với tung độ bằng 1 là:
\[\displaystyle {M_1}[{{ - 1} \over {\sqrt 2 }}; \, 1];{M_2}[0; \, 1];{M_3}[{1 \over {\sqrt 2 }}; \, 1]\]
Ta có \[y[0] = 0\] nên tiếp tuyến với đồ thị tại điểm \[M_2\]có phương trình là \[y = 1.\]
Lại có:
\[\displaystyle y'[{1 \over {\sqrt 2 }}] = {1 \over {\sqrt 2 }};y'[{-1 \over {\sqrt 2 }}] = {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}.\]
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \[{M_1}\left[ { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\;1} \right]\]là:\[y = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left[ {x + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] + 1 = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}x + \dfrac{1}{2}.\]
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm\[{M_2}\left[ { \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\;1} \right]\]là:\[y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left[ {x - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] + 1 = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}x + \dfrac{1}{2}.\]