Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Trong không gian \[Oxyz\] cho mặt phẳng \[[α]\] có phương trình \[4x + y + 2z + 1 = 0\] và mặt phẳng \[[β]\] có phương trình \[2x - 2y + z + 3 = 0\].
LG a
a] Chứng minh rằng \[[α]\] cắt \[[β]\].
Phương pháp giải:
Gọi\[\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} \] lần lượt là VTPT của hai mặt phẳng\[\left[ \alpha \right];\,\,\left[ \beta \right]\], chứng minh hai vector\[{\overrightarrow {n_1} ;\overrightarrow {n_2} }\] không cùng phương.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \[[α]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {n_1} = [4; 1; 2]\]
Mặt phẳng \[[β]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow {n_2} = [2; -2; 1]\]
Vì \[{4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow {n_1} \]và \[\overrightarrow {n_2} \]không cùng phương.
Suy ra \[[α]\] và \[[β]\] cắt nhau.
LG b
b] Viết phương trình tham số của đường thẳng \[d\] là giao của \[[α]\] và \[[β]\].
Phương pháp giải:
Tìm một điểm thỏa mãn hệ phương trình\[\left\{ \matrix{4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\], điểm đó thuộc d.
\[\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right]\] là 1 VTCP của đường thẳng \[d\].
Viết phương trình tham số của đường thẳng biết một điểm đi qua và VTCP.
Lời giải chi tiết:
\[[α]\] cắt \[[β]\] nên \[\overrightarrow {{n_1}} \]và \[\overrightarrow {{n_2}} \]có giá vuông góc với đường thẳng \[d\], vì vậy vectơ \[\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= [5; 0; -10\]] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\].
Ta có thể chọn vectơ \[\overrightarrow u = [1; 0; -2]\] làm vectơ chỉ phương.
Ta tìm một điểm nằm trên \[d\].
Xét hệ\[\left\{ \matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr
2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Cho \[x = 1\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 2z = - 5\\ - 2y + z = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = - 3\end{array} \right.\] nên \[{M_0}\left[ {1;1; - 3} \right] \in \left[ \alpha \right] \cap \left[ \beta \right]\] hay \[{M_0} \in d\]
Phương trình tham số của \[d\] là:\[\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr
z = - 3 - 2t \hfill \cr} \right.\]
LG c
c] Tìm điểm \[M'\] đối xứng với điểm \[M[4 ; 2 ; 1]\] qua mặt phẳng \[[α]\].
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M trênmặt phẳng \[[α]\].
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc vớimặt phẳng \[[α]\].
- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của d vàmặt phẳng \[[α]\].
Khi đó H là trung điểm của MM', suy ra tọa độ của điểm M'.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng \[[α]\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = [4; 1; 2]\].
Đường thẳng \[\] đi qua \[M[4; 2; 1]\] và vuông góc với \[[α]\], nhận vectơ \[\overrightarrow n \]làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:
\[\left\{ \matrix{
x = 4 + 4t \hfill \cr
y = 2 + t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\]
Gọi\[H = \Delta \cap \left[ \alpha \right]\] \[ \Rightarrow H\left[ {4 + 4t;2 + t;1 + 2t} \right]\].
Thay tọa độ \[H\] vào \[\left[ \alpha \right]\] ta có:
\[4[4 + 4t] + [2 + t] + 2[1 + 2t] + 1 = 0\]
\[ \Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \] \[\Rightarrow H [0; 1; -1]\]
Gọi \[M' [x; y; z]\] đối xứng với \[M\] qua mp \[[α]\] thì H là trung điểm MM'
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2.0 - 4 = - 4\\{y_{M'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{M'}} = 2.\left[ { - 1} \right] - 1 = - 3\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow M'\left[ { - 4;0; - 3} \right]\]
LG d
d] Tìm điểm \[N'\] đối xứng với điểm \[N[0 ; 2 ; 4]\] qua đường thẳng \[d\].
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm N trênđường thẳng \[d\].
- Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua N và vuông góc với đường thẳng \[d\].
- Tìm tọa độ điểm I là giao điểm của [P] vàđường thẳng \[d\].
Khi đó I là trung điểm của NN', suy ra tọa độ của điểm N'.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow a = [1; 0; -2]\].
Mặt phẳng \[[P]\] đi qua \[N[0; 2; 4]\] và vuông góc với \[d\], nhận \[\overrightarrow a \]làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:
\[1[x - 0] + 0[y - 2] - 2[z - 4] = 0\]
\[[P]\]: \[x - 2z + 8 = 0\]
Ta tìm giao điểm \[I\] của \[d\] và \[[P]\]. Ta có:
\[1+s - 2[-3-2s] + 8 = 0\]\[\Leftrightarrow s = -3 \Leftrightarrow I[ -2; 1; 3]\]
\[N' [x; y; z]\] là điểm đối xứng của \[N\] qua \[d\] thì \[\overrightarrow {NN'} = 2\overrightarrow {NI} \]
\[\overrightarrow {NI} = [-2; -1; -1]\], \[\overrightarrow {NN'} = [x; y - 2; z - 4] \]
\[ \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = [ - 2].2 \hfill \cr
y - 2 = [ - 1].2 \hfill \cr
z - 4 = [ - 1].2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 2 \hfill \cr} \right.\]
\[\Rightarrow N'[ - 4;0;2]\]
Cách khác:
Gọi \[I\] là hình chiếu của \[N\] trên \[d\]\[ \Rightarrow I\left[ {1 + t;1; - 3 - 2t} \right] \in d\].
\[\overrightarrow {NI} = \left[ {1 + t; - 2; - 7 - 2t} \right]\]
\[IN \bot d\] \[ \Leftrightarrow \overrightarrow {IN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\]
\[ \Leftrightarrow 1.\left[ {1 + t} \right] + 0.\left[ { - 2} \right] - 2.\left[ { - 7 - 2t} \right] = 0\]
\[ \Leftrightarrow 1 + t + 14 + 4t = 0\]
\[ \Leftrightarrow 15 + 5t = 0 \Leftrightarrow t = - 3\]
\[ \Rightarrow I\left[ { - 2;1;3} \right]\]
\[N'\] đối xứng \[N\] qua \[I\] nên \[I\] là trung điểm \[NN'\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2{x_I} - {x_N}\\{y_{N'}} = 2{y_I} - {y_N}\\{z_{N'}} = 2{z_I} - {z_N}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{N'}} = 2.\left[ { - 2} \right] - 0 = - 4\\{y_{N'}} = 2.1 - 2 = 0\\{z_{N'}} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow N'\left[ { - 4;0;2} \right]\]