Bài tập phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 năm 2024
Uploaded byhi ahi Show 0% found this document useful (0 votes) 447 views 64 pages Copyright© © All Rights Reserved Available FormatsPPT, PDF, TXT or read online from Scribd Share this documentDid you find this document useful?Is this content inappropriate?0% found this document useful (0 votes) 447 views64 pages PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2Uploaded byhi ahi Jump to Page You are on page 1of 64 Search inside document Reward Your CuriosityEverything you want to read. Anytime. Anywhere. Any device. No Commitment. Cancel anytime. Áp dụng kết quả của bổ đề, từ (5.1.6) và (5.1.7) ta có 2 nghiệm thực, độc lập tuyến tính của (5.2) là:
Vậy nghiệm tổng quát của (5.2) là: (5.1.8) 5.2 Các ví dụ: 1. Giải phương trình: Ta có phương trình đặc trưng: Vậy phương trình vi phân có 2 nghiệm độc lập tuyến tính là: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình: 2. Giải phương trình: Ta có phương trình đặc trưng: Suy ra: Vậy nghiệm tổng quát của pt thuần nhất: 3. Giải phương trình: Phương trình đặc trưng: Suy ra: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 5.3 Tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất: 5.3.1 Cách 1: Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số như mục 4.3 Ví dụ: Giải phương trình: (5.3.1) B1. Giải phương trình thuần nhất liên kết với (5.3.1): (5.3.2) Phương trình đặc trưng của (5.3.2): Suy ra: Vậy nghiệm tổng quát của pt thuần nhất (5.3.2): B2. Nghiệm riêng y* của (5.3.1) có dạng: trong đó: u(x), v(x) là hai hàm số thỏa mãn: Suy ra: Lấy tích phân từng phần ta có: Vậy nghiệm riêng y*: Hay: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
5.3.2 Cách 2: Phương pháp hệ số bất định: Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: 5.3.2.1 Trường hợp 1: , trong đó là một đa thức bậc n, là một hằng số. Khi đó, nghiệm riêng y* của pt không thuần nhất sẽ có dạng: (5.3.2) trong đó: s = 0: nếu không là nghiệm của pt đặc trưng (5.1.3): s = 1: nếu là nghiệm đơn của pt đặc trưng (5.1.3) s = 2: nếu là nghiệm kép của pt đặc trưng (5.1.3) là đa thức bậc n với các hệ số cần được xác định. Ta xác định các hệ số của bằng cách đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc ở hai vế của pt. Ta chứng minh công thức (5.3.2). Thật vậy: Do VP = nên ta tìm nghiệm riêng y* có dạng , với Q(x) là đa thức có hệ số cần xác định. Khi đó: Thế vào pt ta có: Suy ra: (5.3.3) Để y* là nghiệm của pt thì Vế trái của (5.3.3) cũng phải là một đa thức bậc n có các hệ số đồng nhất với Pn(x) – Trường hợp 1: không là nghiệm pt đặc trưng Khi đó: , do đó để vế trái của (5.3.3) là 1 đa thức bậc n thì Q(x) là đa thức bậc n. Hay: – Trường hợp 2: là nghiệm đơn của pt đặc trưng. Khi đó: Do đó, để vế trái của (5.3.3) là đa thức bậc n thì Q'(x) là đa thức bậc n hay Q(x) là đa thức bậc (n + 1) Mặt khác, khi thế Q(x) vào đẳng thức (5.3.3) thì hệ số tự do của Q(x) bị triệt tiêu nên Q(x) có dạng: |
