Lý thuyết:
1. Bất đẳng thức là một mệnh đề có một trong các dạng \[A > B, A < B, A \ge B, A\le B\], trong đó \[A, B\] là các biểu thức chứa các số và các phép toán.
Biểu thức \[A\] được gọi là vế trái, \[B\] là vế phải của bất đẳng thức.
Nếu mệnh đề: \["A < B => C < D"\] là mệnh đề đúng thì ta nói bất đẳng thức \[C < D\] là hệ quả của bất đẳng thức \[A < B\].
Nếu \["A < B => C < D"\] và \["C < D ⇒ A < B"\] là mệnh đề đúng thì ta nói hai bất đẳng thức \[A < B\] và \[C < D\] tương đương, kí hiệu là \[A < B ⇔ C < D\].
2. Các tính chất của bất đẳng thức.
TC1. [ Tính chất bắc cầu]
\[\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr
B < C \hfill \cr} \right. \Rightarrow A < C\]
TC2. [Quy tắc cộng]: \[A < B ⇔ A + C < B + C\]
TC3. [Quy tắc cộng hai bất đẳng thức dùng chiều]
\[\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr
C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow A + C < B + D\]
TC4. [Quy tắc nhân]
\[\left\{ \matrix{ A < B \hfill \cr
C > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC < BC\]
\[\left\{ \matrix{A < B \hfill \cr
C < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow AC > BC\]
TC5. [Quy tắc nhân hai bất đẳng thức]
\[\left\{ \matrix{ 0 < A < B \hfill \cr
0 < C < D \hfill \cr} \right. \Rightarrow AC < B{\rm{D}}\]
TC6. [Quy tắc lũy thừa, khai căn]
Với \[A, B > 0, n ∈\mathbb N^*\] ta có:
\[ A < B \Leftrightarrow A^n< B^n\]
\[A < B \Leftrightarrow \root n \of A < \root n \of B \].
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân [Bất đẳng thức Côsi]
Ta gọi \[{{a + b} \over 2}\] là trung bình cộng của hai số \[a, b\].
Tổng quát trung bình cộng của n số \[{a_1},{a_2},...,{a_n}\] là \[{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \over n}\]
Trung bình nhân của hai số không âm \[a ≥ 0, b ≥ 0\] là \[\sqrt {ab} \]
Trung bình nhân của n số không âm \[{a_1} \ge 0,{a_2} \ge 0,...,{a_n} \ge 0\] là
\[\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} \]
Định lí: Ta có bất đẳng thức dưới đây, mang tên bất đẳng Cô si:
\[\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\] \[∀a, b ≥ 0\].
Dấu \["="\] chỉ xảy ra khi \[a = b\].
Người ta cũng có:
\[\root 3 \of {abc} \le {{a + b + c} \over 3}\] \[∀a, b, c ≥ 0\].
\[\root n \of {{a_1}{a_2}...{a_n}} \le {{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \over n}\] \[∀ {a_1},{a_2},...,{a_n} \ge 0\]
Hệ quả 1. Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số bằng nhau.
Hệ quả 2. Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
4. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ta có các bất đẳng thức sau:
\[\left| a \right| - \left| b \right| \le \left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\] \[∀a, b ∈\mathbb R\]
Dấu \["="\] chỉ xảy ra khi \[ab\ge 0 \]
\[|x| ≤ a \Leftrightarrow - a ≤ x ≤ a\] \[∀a > 0\]
\[|x| ≥ a \Leftrightarrow\left[ {\matrix{{x \ge a} \cr {x \le - a} \cr} } \right.\forall a > 0.\]
Hỗ trợ các em học sinh lớp 10 tổng hợp lại kiến thức từng chuyên đề trong chương trình toán học lớp 10 [Đại số và hình học]. Chúng tôi xin giới thiệu chuỗi bài học tổng hợp từng chuyên đề bao gồm lý thuyết cần nhớ kèm các dạng bài tập [Tự luận và trắc nghiệm] tiêu biểu có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.
Chuyên đề: Bất phương trình và bất đẳng thức thuộc chương IV trong SGK Toán đại lớp 10, được đánh giá là một chuyên đề khó với các bài tập cần sự linh hoạt trong việc sử dụng kiến thức căn bản và nâng cao. Dưới đây là Lý thuyết cần nhớ kèm các dạng bài tập hay của chuyên đề được chúng tôi tổng hợp và biên soạn giới thiệu đến các bạn. Mời các bạn tham khảo chi tiết tại đây.
Tham khảo thêm:
Chuyên đề: Bất đẳng thức và Bất phương trình Lớp 10
Để quá trình tiếp thu kiến thức hiệu quả, các em cần ghi nhớ nội dung lý thuyết trước, sau đó áp dụng vào giải các dạng bài tập [Tự luận + Trắc nghiệm] chúng tôi đã sưu tầm.
IV. Bất phương trình bậc nhất
1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình
ax + by c được xác định tương tự.
...
Nội dung chuyên đề còn tiếp, mời các em xem full tại file tải về miễn phí...
File tải Chuyên đề bất đẳng thức và bất phương trình Lớp 10 [Lý thuyết + Bài tập] [Đầy đủ]
CLICK NGAY vào đường dẫn bên dưới để tải về nội dung full chuyên đề bất đẳng thức và bất phương trình Lớp 10, hỗ trợ các em ôn luyện hiệu quả.
Hy vọng tài liệu sẽ hữu ích cho các em học sinh và quý thầy cô giáo tham khảo.
►Ngoài ra các em học sinh và thầy cô có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu hữu ích hỗ trợ ôn luyện thi môn toán khác được cập nhật liên tục tại chuyên trang của chúng tôi.
Đánh giá bài viết
Đầu chương trình đại số học kì 2 lớp 10, các bạn học sinh được tìm hiểu chương bất đẳng thức và bất phương trình. Tuy nhiên, việc giải bất phương trình đang là bài toán khiến nhiều bạn học sinh cảm thấy khó khăn vì ngoài các bất phương trình bất nhất, bậc hai thì còn xuất hiện nhiều bất phương trình chứa căn thức, chứa trị tuyệt đối. Hiểu được điều đó, Kiến Guru đã biên soạn các công thức giải bất phương trình lớp 10 để các em có thể vận dụng vào việc giải các bất phương trình từ đơn giản đến phức tạp một cách dễ dàng.
Giải bất phương trình là một kĩ năng vô cùng quan trọng trong chương trình toán THPT vì lên lớp 11, 12 chúng ta còn sẽ gặp rất nhiều dạng toán mà muốn giải được thì cần có các kĩ năng giải bất phương trình. Hy vọng với các công thức giải bất phương trình mà Kiến Guru giới thiệu sẽ giúp các em giải quyết nhanh gọn tất cả các bài toán giải bất phương trình.
I. Các công thức giải bất phương trình lớp 10:
A/ Bất phương trình quy về bậc nhất:
Trong phần A, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc nhất. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.
1. Giải và biện luận bpt dạng ax + b < 0
Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.
1.2. Dấu nhị thức bậc nhất2. Bất phương trình tích
∙ Dạng: P[x].Q[x] > 0 [1] [trong đó P[x], Q[x] là những nhị thức bậc nhất.]
∙ Cách giải: Lập bxd của P[x].Q[x]. Từ đó suy ra tập nghiệm của [1].
3. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
4. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
∙ Tương tự như giải pt chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta hay sử dụng định nghĩa và tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
∙ Dạng 1:
B/ Bất phương trình quy về bậc hai:
Trong phần B, chúng tôi sẽ giới thiệu các công thức giải bất phương trình lớp 10 dành cho các phương trình bậc hai và phương trình qui về bậc hai. Trước khi đi vào các công thức giải các em cần phải nắm vững bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất.
1. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét:
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c > 0 [hoặc ≥ 0; < 0; ≤ 0]
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
3. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
4. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Trong các dạng toán thì bất phương trình chứa căn được xem là dạng toán khó nhất. Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta cầ sử dụng kết hợp các công thức giải bất phương trình lớp 10 kết hợp với phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
II. Bài tập giải bất phương trình lớp 10
Trong phần 2, chúng tôi xin giới thiệu các dạng bài tập vận dụng các công thức giải bất phương trình lớp 10. Các bài tập cũng được chia ra : bpt bậc nhất, bậc hai và các phương trình chứa dấu GTTĐ và chứa ẩn dưới dấu căn.
1. Bài tập về Bất Phương Trình:
Bài 1/ BPT bậc nhất
1.1. Giải các bất phương trình sau:
1.2. Giải các bất phương trình sau:
1.3. Giải các bất phương trình sau:
Bài 2/ BPT qui về bậc nhất
Giải các bất phương trình sau:
Bài 3/ BPT bậc hai
Bài 4/ BPT qui về bậc hai có chứa dấu GTTĐ
Giải các bất phương trình sau:
Bài 5/ BPT qui về bậc hai có chứa căn thức
Giải các phương trình sau:
2. Bài tập về Phương Trình
Bài 1: Giải các phương trình sau: [nâng luỹ thừa]
Bài 2. Giải các phương trình sau: [biến đổi biểu thức dưới căn]
Bài 4: Giải các phương trình sau: [nâng luỹ thừa]
Bài 5: Giải các phương trình sau:
3. Bài tập tổng hợp các dạng:
Trên đây là các công thức giải bất phương trình lớp 10 và kèm theo là các dạng bài tập giải bất phương trình lớp 10. Để làm tốt dạng toán giải bất phương trình, trước hết các em học sinh cần phải nắm vững các quy tắc xét dấu của tam thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó, dựa vào các công thức mà tài liệu đã giới thiệu, các em có thể áp dụng để giải các bất phương trình phức tạp hơn. Giải bất phương trình là một dạng toán rất quan trọng và theo suốt chúng ta trong chương trình toán THPT. Do đó, nó luôn xuất hiện trong các bài kiểm tra một tiết và đề thi học kì lớp 10 nên các em cần đặc biệt lưu ý trong quá trình ôn tập. Hy vong, với các công thức mà Kiến Guru giới thiệu, các bạn học sinh lớp 10 sẽ thành thạo việc giải bất phương trình và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra sắp tới.