Cách bấm máy phương trình tiếp tuyến lớp 11

I. Phương trình tiếp tuyến là gì?

Tiếp tuyếncủa một đường cong tại một điểm bất kì thuộc đường cong là một đường thẳng chỉ "chạm" vào đường cong tại điểm đó. Tiếp tuyến như một đường thẳng nối một cặp điểm gần nhau vô hạn trên đường cong. Chính xác hơn, một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường congy=f[x] tại điểmx=ctrên đường cong nếu đường thẳng đó đi qua điểm [c,f[c]] trên đường cong và có độ dốcf'[c] vớif' là đạo hàm củaf.

Khi tiếp tuyến đi qua điểm giao của đường tiếp tuyến và đường cong trên, được gọi làtiếp điểm, đường tiếp tuyến "đi theo hướng" của đường cong, và do đó là đường thẳng xấp xỉ tốt nhất với đường cong tại điểm tiếp xúc đó.

Mặt phẳng tiếp tuyến của mặt cong tại một điểm nhất định là mặt phẳng "chỉ chạm vào" mặt cong tại điểm đó.

- Hệ số góc kcủa tiếp tuyến chính làf′[x]. Vậy khi bài toán cho hệ số góc k thì các bạn sẽ đi giải phương trình sau:
f′[x0] = k; với x0là hoành độ tiếp điểm.

Giải phương trình này các bạn sẽ tìm đượcx0, từ đó sẽ tìm đượcy0.

Đạo hàm của hàm số y = f[x] tại điểm x0là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị [C] của hàm số tai điểm M[x0;y0].

Khi đóphương trình tiếp tuyến của [C]tại điểmM[x0;y0]lày = y′[x0][x−x0] + y0

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến ta phải tìm đượchoành độ tiếp điểmx

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f[x] tại điểmx0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị [C] của hàm số tại điểmM0[x0; f[x0]]

Khi đó phương trình tiếp tuyến của [C] tại điểmM0[x0; f[x0]] là:

y - y0 = [f'[x0][x-x0] [y0 = f[x0]

Nếu [C1] : y = px + q và [C2] : y = ax2 + bx + c thì [C1] và [C2] tiếp xúc nhau

phương trình ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.

II. Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến được chia thành 3 dạng cơ bản là:

+ Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M

+Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước

+Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M[x0,y0] có dạng:

y=f‘[x0][x−x0]+y0[1]

Trong đó f‘[x0] là đạo hàm của hàm số tại điểm x0.

x0;y0là hoành độ, tung độ của tiếp điểm M.

Như vậy với bài tập yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến thì ta phải tìm 3 đại lượng, là: f′[x0];x0 và y0.

Viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm cho trước M[x0,y0]

Cách làm: Bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm M[x0,y0] thì công việc cần làm là tìm f′[x0];x0và y0, trong đó x0,y0chính là tọa độ của điểm M, vì vậy chỉ cần tính f′[x0], rồi thay vào phương trình [1] là xong.

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cho đồ thị hàm số y=f[x], viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A[a,b]

Phương pháp:

Gọi phương trình tiếp tuyến của Δ có dạng: f'x0[x - x0] + y0

Và có tiếp điểm M0[x0,y0]

Vì A[a,b] thuộc tiếp tuyến nên thay tọa độ A vào phương trình ta có:

b=f′x0[a–x0]+fx0với fx0=y0

Phương trình này chỉ chứa ẩn x0, do đó chỉ cần giải phương trình trên để tìm x0.

Sau đó sẽ tìm được f′x0và y0.

Tới đây phương trình tiếp tuyến của chúng ta đã tìm được

Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

Để viết phương trình tiếp tuyến Δ của đồ thị [C] y = f[x] khi hệ số góc k ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm f’[x]

Bước 2: Giải phương trình f’[x] = k để tìm hoành độ x0của tiếp điểm. Từ đây suy ra tọa độ điểm M0[x0;y0] với y0=f[x0]

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Δ tại tiếp điểm M0[x0;y0]:

y=f′[x0][x–x0]+y0

Chú ý: Tính chất của hệ số góc k của tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của [C] đi qua tiếp điểm M[x0,y0] là y=a[x−x0]+y0

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

III. Bài tập

Bài 1:

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = x2+ 6x

Ta có:

k = -9⇔ y’[xo] = - 9

⇔ xo2+ 6xo= -9

⇔ [xo+ 3]2= 0

⇔ xo= -3⇒ yo= 16

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là [d]: y = -9[x + 3] + 16 = -9x – 11

Bài 2:

Hướng dẫn:

1.Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi [t] là tiếp tuyến của đồ thị [C] của hàm số và [t] vuông góc với đường thẳng y = [1/6]x - 1, nên đường thẳng [t] có hệ số góc bằng -6

Cách 1: Gọi M[xo; yo] là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến [t] và đồ thị [C] của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:

y’[xo] = -6⇔ -4xo3- 2xo= -6⇔ [xo-1][2xo2+2xo+3] = 0[*].

Vì 2xo2+ 2xo+ 3 > 0∀xo∈ R nên phương trình

[*]⇔ xo= 1⇒ yo= 4⇒ M[1;4]

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6[x – 1] + 4 = -6x + 10

Cách 2: Phương trình [t] có dạng y = -6x + m

[t] tiếp xúc [C] tại điểm M[xo; yo] khi hệ phương trình sau có nghiệm xo

2.Hàm số đã cho xác định D = R

A. y  3x B. y  3x  3 C. y  x  3 D. 1 1 3 3 y  x  Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x x   3 3 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  9x 16 A. y  9x  16 B. y  9x  12 C. y  9x 10 D. y  9x 12 Bài 5-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5 năm 2017] Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị   : 1 2 2 3 3 C y  x  x  sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng 1 2 3 3 y   x  A. M2;0 B.         16 3; 3 M C. 1; 4 3        D. 1 9 ; 2 8 M       Bài 6-[Thi tốt nghiệm THPT năm 2012] Cho hàm số 1 4 2 2   4 y  x  x C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x  x0 biết f ”x0   1 A.           5 3 4 5 3 4 y x y x B.           5 3 4 5 3 4 y x y x C. 5 3 4 5 3 4 y x y x           D. 5 3 4 5 3 4 y x y x           LỜI GIẢI BÀI TẬP T Ự LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 3 năm 2017] Cho hàm số 1 2 1 x y  x   . Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc bằng : A. 1 3 B. 1 6 C. 1 3  D. 1 6  GIẢI  Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại tiếp điểm ‘ 1 1 3  k  f   

qyaQ]+1R2Q]p1$$p1=

 Đáp số chính xác là C Bài 2-[Thi thử chuyên Quốc Học Huế lần 1 năm 2017] Tìm tọa độ của tất cả các điểm M trên đồ thị C của hàm số 1 1 x y x    sao cho tiếp tuyến của C tại M song song với đường thẳng : y 1 7 2 2 d  x  A. 0;1,2;3 B. 1;0,3;2 C. 3;2 D. 1;0 GIẢI  Đề bài hỏi các điểm M nên ta dự đoán có 2 điểm , lại quan sát thấy đáp án B được cấu tạo từ đáp án C và D nên ta ưu tiên thử đáp án D trước.  Tiếp tuyến song song với d nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng hệ số góc của d và bằng 1 2 Tính ‘1 1 2 f   Điểm M 1;0 là một tiếp điểm qyaQ]p1RQ]+1$$1= Tính ‘ 3 1 2 f    Điểm M 3;2 là một tiếp điểm !!op3=  B là đáp án chính xác Bài 3-[Thi thử chuyên Thái Bình lần 1 năm 2017] Cho hàm số 1 2 x y x    có đồ thị C . Tiếp tuyến của C tại giao điểm của C và trục hoành có phương trình là : A. y  3x B. y  3x  3 C. y  x  3 D. 1 1 3 3 y  x  GIẢI  Gọi tiếp điểm là M x0; y0   Tiếp tuyến y  f ‘x0 x  x0   y0  M là giao điểm của đồ thị C và trục hoành  M 1;0  x0 1; y0  0 Tính hệ số góc k  f ‘1 qyaQ]p1RQ]+2$$1= Thay vào ta có tiếp tuyến 1  1 0 1 1 3 3 3 y  x    y  x   Đáp số chính xác là D Bài 4-[Thi thử nhóm toán Đoàn Trí Dũng lần 3 năm 2017] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  9x 16 A. y  9x  16 B. y  9x  12 C. y  9x 10 D. y  9x 12 GIẢI  Gọi tiếp điểm là M x0; y0   Tiếp tuyến y  f ‘x0 x  x0   y0 với hệ số góc k  f ‘ x0   3×02  3  Tiếp tuyến song song với y  9x 16 nên có hệ số góc k  9  3×02  3  9  x0  2 Với x0  2  y0  2  Tiếp tuyến : y  9x  2  2  y  9x 16 Tính hệ số góc k  f ‘1  Đáp số chính xác là A Bài 5-[Thi thử Group nhóm toán Facebook lần 5 năm 2017] Tìm tọa độ điểm M có hoành độ âm trên đồ thị   : 1 2 2 3 3 C y  x  x  sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng 1 2 3 3

y   x 

Trang 8/9 A. M2;0 B.        16 3; 3 M C. 1; 4 3       D. 1 9 ; 2 8 M       GIẢI  Gọi tiếp điểm là M x0; y0  Tiếp tuyến y  f ‘x0x  x0  y0 với hệ số góc k  f ‘ x0   x02 1  Tiếp tuyến vuông góc với 1 2 3 3 y   x  nên có hệ số góc 20 0 1 . 1 3 1 3 2 3 k        k   x    x      Đáp số chính xác là A Bài 6-[Thi tốt nghiệm THPT năm 2012] Cho hàm số 1 4 2 2   4 y  x  x C . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x  x0 biết f ”x0   1 A.           5 3 4 5 3 4 y x y x B.           5 3 4 5 3 4 y x y x C. 5 3 4 5 3 4 y x y x           D. 5 3 4 5 3 4 y x y x           GIẢI  Gọi tiếp điểm là M x0; y0  Tiếp tuyến y  f ‘x0x  x0  y0 với hệ số góc k  f ‘ x0   x04  4×0  Ta có f ”x  3×02  4 0 0 2 2 0 0 0 0 7 1; 4 3 4 1 1 7 1; 4 x y x x x y                     Với x0 1 Tính hệ số góc k  f ‘1

qya1R4$Q]^4$p2Q]d$1=

Trang 9/9 Thay vào ta có tiếp tuyến 3 1 7 3 5 4 4 y   x    y   x   Đáp số chính xác là D Với x0  1 Tính hệ số góc k  f ‘1 !!!p= Thay vào ta có tiếp tuyến 3 1 7 3 5 4 4 y  x    y  x 

 Đáp số chính xác là D.

Từ khóa tìm kiếm:  Giải Nhanh Phương Trình Tiếp Tuyến, Tổng Hệ Số Góc Của Tiếp Tuyến, Hệ Số Góc Tiếp Tuyến, Tiếp Tuyến Kẻ Từ Điểm 2 3 Tới Đồ Thị Hàm Số, Tiếp Tuyến Hàm Số Casio, Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số Đi Qua Điểm, Phương Trình Tiếp Tuyến Của Hàm Ẩn, Cách Bấm Máy Tính Tìm Tiếp Tuyến 12, Giải Nhanh Phương Trình Tiếp Tuyến, Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Bằng Máy Tính Casio, Cách Bấm Máy Tính Casio Phương Trình Tiếp Tuyến, Tổng Hệ Số Góc Của Tiếp Tuyến, Tiếp Tuyến Kẻ Từ Điểm 2 3 Tới Đồ Thị Hàm Số, Phương Trình Tiếp Tuyến 11, Bài Tập Phương Trình Tiếp Tuyến Lớp 11 Nâng Cao