Đề bài
Cho đường tròn [O] đường kính \[AB = 2R\]. Một dây CD không đi qua tâm O sao cho \[\widehat {COD} = 90^\circ \] và CD cắt đường thẳng AB tại E [D nằm giữa hai điểm E và C], biết \[OE = 2R\]. Tính độ dài EC và ED theo R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì qua trung điểm của dây ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[\widehat {COD} = 90^\circ \] [gt] và OC=OD=R nên COD vuông cân tại O, ta có:
\[CD = \sqrt {O{C^2} + O{D^2}} = \sqrt {2{R^2}} = R\sqrt 2 \]
Kẻ \[OH CD\], ta có: \[HC = HD\] [định lí đường kính dây cung]
Mặt khác COD vuông cân nên OH đồng thời là trung tuyến:
\[HC = HD = OH = {{CD} \over 2} = {{R\sqrt 2 } \over 2}\]
Xét tam giác vuông OHE, ta có:
\[EH = \sqrt {O{E^2} - O{H^2}} \] [định lí Pi-ta-go]
\[\eqalign{ & EH = \sqrt {{{\left[ {2R} \right]}^2} - {{\left[ {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right]}^2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;= {{R\sqrt {14} } \over 2} \cr & \Rightarrow ED = EH - HD \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;= {{R\sqrt {14} } \over 2} - {{R\sqrt 2 } \over 2}\cr& \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= {{R\sqrt {14} - R\sqrt 2 } \over 2} \cr & EC = EH + HC = {{R\sqrt {14} + R\sqrt 2 } \over 2} \cr} \]