Đề bài
Bài 1. Rút gọn : \[\displaystyle A = {{x\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\]\[\displaystyle \,\,\left[ {x > 0;\,x \ne 1} \right]\]
Bài 2. Chứng minh : \[\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x + 1}} + {{\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 1} \over {x - 1}} < 1\,\,\left[ * \right]\]\[\displaystyle \,\left[ {x \ge 0;\,x \ge 1} \right]\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Quy đồng và rút gọn các phân thức.
Lời giải chi tiết
Bài 1. Ta có:
\[\displaystyle A = {{x\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\]\[\displaystyle \,\,\left[ {x > 0;\,x \ne 1} \right]\]
\[\displaystyle \eqalign{ & = {{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {x + \sqrt x + 1} \right]} \over {\sqrt x \left[ {\sqrt x - 1} \right]}} - {{\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {x - \sqrt x + 1} \right]} \over {\sqrt x \left[ {\sqrt x + 1} \right]}} + {{x + 1} \over {\sqrt x }} \cr & = {{x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 1 + x + 1} \over {\sqrt x }}\cr & = {{{x+2\sqrt x + 1}} \over {\sqrt x }} \cr & = {{{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}^2}} \over {\sqrt x }} \cr} \]
Bài 2. Ta có:
\[\displaystyle x\sqrt x + 1 = \left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {x - \sqrt x + 1} \right] \], với mọi \[\displaystyle x 0\] và \[\displaystyle x 1\]
Nên:
\[\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x + 1}} + {{\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 1} \over {x - 1}} < 1\]
\[\displaystyle \eqalign{ & \Leftrightarrow {{x + 2} \over {\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {x - \sqrt x + 1} \right]}} + {{\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 1} \over {\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {\sqrt x - 1} \right]}} < 1 \cr & \Leftrightarrow {{x + 2 + x - 1 - \left[ {x - \sqrt x + 1} \right]} \over {\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {x - \sqrt x + 1} \right]}} < 1 \cr & \Leftrightarrow {{x + \sqrt x } \over {\left[ {\sqrt x + 1} \right]\left[ {x - \sqrt x + 1} \right]}} < 1 \cr & \Leftrightarrow {{\sqrt x } \over {x - \sqrt x + 1}} < 1 \cr} \]
\[\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - x + \sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - \left[ {x - 2\sqrt x + 1} \right]}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - {{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0
\end{array}\]
Ta có: \[\displaystyle x\sqrt x + 1 > 0\] và \[\displaystyle \sqrt x + 1 > 0 \Rightarrow x - \sqrt x + 1 > 0\]
Và \[\displaystyle -{\left[ {\sqrt x - 1} \right]^2} < 0\] với \[\displaystyle x 0\] và \[\displaystyle x 1\]
Nên \[\displaystyle \dfrac{{ - {{\left[ {\sqrt x - 1} \right]}^2}}}{{x - \sqrt x + 1}} < 0\]với \[\displaystyle x 0\] và \[\displaystyle x 1\]
Vậy\[\displaystyle {{x + 2} \over {x\sqrt x + 1}} + {{\sqrt x - 1} \over {x - \sqrt x + 1}} - {{\sqrt x - 1} \over {x - 1}} < 1\] với\[\displaystylex 0\] và\[\displaystylex 1\] [đpcm]