Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] nội tiếp đường tròn. \[P,\, Q,\, R\] theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \[BC, \, CA, \,AB\] bởi các góc \[A, \,B,\, C\].
a] Chứng minh \[AP \bot QR.\]
b] \[AP\] cắt \[CR\] tại \[I\]. Chứng minh tam giác \[CPI\] là tam giác cân.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
a] Gọi giao điểm của \[AP\] và \[QR\] là \[K\].
Vì\[P,\, Q,\, R\] theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \[BC, \, CA, \,AB\] bởi các góc \[A, \,B,\, C\] nên \[sđ\overparen{AR}=sđ\overparen{RB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}\] ,\[sđ\overparen{AQ}=sđ\overparen{QC}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}\],\[sđ\overparen{PC}=sđ\overparen{PB}=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}.\]
Suy ra \[sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}\]\[=\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AC}+\dfrac {1}{2}sđ\overparen{BC}\]\[=\dfrac {1}{2}[sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB}]\]\[=\dfrac {1}{2}.360^0=180^0\]
Xét đường tròn \[[O]\] ta có:
+] \[\widehat{AKR}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \[AR\] và \[QP\] nên:\[ \widehat{AKR}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QP}}{2}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0.\]
Vậy \[\widehat{AKR} =90^0\] hay \[AP \bot QR\]
b]Xét đường tròn \[[O]\] ta có:
+] \[\widehat{CIP}\] là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn cung \[AR\] và \[CP\] nên:\[\widehat{CIP}=\dfrac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\] [1]
+] \[\widehat {PCI}\]góc nội tiếp chắn cung \[PR\],nên \[\widehat {PCI}=\dfrac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\] [2]
Theo giả thiết thì \[\overparen{AR} = \overparen{RB}\] [3]
và \[\overparen{CP} = \overparen{BP}\] [4]
Từ [1], [2], [3], [4] suy ra: \[\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\].Do đó \[CPI\] cân.
loigiaihay.com