Đề bài
Cho tứ diện \[S.ABC\] có \[SA\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\]. Gọi \[H, K\] lần lượt là trực tâm của tam giác \[ABC\] và \[SBC\].
a] Chứng minh ba đường thẳng \[AH, SK, BC\] đồng quy.
b] Chứng minh rằng \[SC\] vuông góc với mặt phẳng \[[BHK]\] và \[HK\] vuông góc với mặt phẳng \[[SBC]\].
c] Xác định đường vuông góc chung của \[BC\] và \[SA\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Gọi \[E = AH BC\], chứng minhba đường thẳng \[AH, SK, BC\] đồng quy tại \[E.\]
b]Trong \[[ABC]\] gọi \[F = BH AC\], trong \[[SBC]\] gọi \[D = BK SC\]. Khi đó \[[BHK]\equiv [BDF]\]. Chứng minh\[SC \bot \left[ {BDF} \right]\].
Chứng minh \[HK\] vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \[[SBC]\].
c] Dựa vào định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng cắt nhau.
Lời giải chi tiết
a] Trong \[[ABC]\], gọi \[E = AH BC\].
\[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC\] nên \[AE\bot BC\] [1]
\[SA\bot [ABC]\Rightarrow SA\bot BC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BC [SAE]\]\[ \RightarrowBC SE\].
\[K\] là trực tâm của tam giác \[SBC\Rightarrow SE \] đi qua \[K\] \[\RightarrowAH, BC, SK\] đồng quy tại \[E\].
b] Trong \[[ABC]\] gọi \[F = BH AC\], trong \[[SBC]\] gọi \[D = BK SC\]. Khi đó \[[BHK]\equiv [BDF]\].
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
BF \bot AC\\
BF \bot SA\,\,\left[ {SA \bot \left[ {ABC} \right]} \right]
\end{array} \right. \Rightarrow BF \bot \left[ {SAC} \right]\\ \Rightarrow BF \bot SC\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot BF\\
SC \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left[ {BDF} \right] \Rightarrow SC \bot \left[ {BHK} \right]\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
SC \bot \left[ {BHK} \right] \Rightarrow SC \bot HK\\
BC \bot \left[ {SAE} \right] \Rightarrow BC \bot HK\\
\Rightarrow HK \bot \left[ {SBC} \right]
\end{array}\]
Cách khác:
Có thể chứng minh \[HK \bot \left[ {SBC} \right]\] như sau:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SC \bot \left[ {BHK} \right]\\
SC \subset \left[ {SBC} \right]
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {SBC} \right] \bot \left[ {BHK} \right]\\
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot \left[ {SAE} \right]\\
BC \subset \left[ {SBC} \right]
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {SBC} \right] \bot \left[ {SAE} \right]\\
\left\{ \begin{array}{l}
\left[ {SBC} \right] \bot \left[ {BHK} \right]\\
\left[ {SBC} \right] \bot \left[ {SAE} \right]\\
\left[ {BHK} \right] \cap \left[ {SAE} \right] = HK
\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left[ {SBC} \right]
\end{array}\]
c] \[\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SA\,\,\left[ {SA \bot \left[ {ABC} \right]} \right]\\AE \bot BC\,\,\left[ {gt} \right]\end{array} \right. \Rightarrow AE \] là đường vuông góc chung của \[BC\] và \[SA\].