1. Định nghĩa
\[u_n\] là cấp số nhân \[\Leftrightarrow u_{n+1}= u_n.q\], với \[n\in {\mathbb N}^*\]
Công bội \[q = \dfrac{{u_{n + 1}}} {{u_n}}\].
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \[\left[ {{u_n}} \right]\] thỏa mãn \[{u_1} = 5,q = 3\]. Tính \[{u_2}\].
Ta có: \[{u_2} = q{u_1} = 3.5 = 15\].
2. Số hạng tổng quát
\[{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},[n 2]\]
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \[\left[ {{u_n}} \right]\] thỏa mãn \[{u_1} = 5,q = 3\]. Tính \[{u_5}\].
Ta có:
\[{u_5} = {u_1}{q^4} = {5.3^4} = 405\].
3. Tính chất
\[u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\]hay \[|{u_k}| = \sqrt{{u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}}\], \[k 2\]
Ví dụ:
Cho bốn số \[x;5;25;y\] theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm \[x,y\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{5^2} = x.25 \Leftrightarrow x = 1\\{25^2} = 5y \Leftrightarrow y = 125\end{array}\]
Vậy \[x = 1,y = 125\].
4. Tổng n số hạng đầu
\[{S_n} = \dfrac{{u_1}[{q^n} - 1]} {q - 1}\]\[= \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {q^n}} \right]}}{{1 - q}}\], \[[q 1]\].
Ví dụ:
Cho cấp số nhân \[\left[ {{u_n}} \right]\] thỏa mãn \[{u_1} = 5,q = 3\]. Tính \[{S_{10}}\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left[ {1 - {q^{10}}} \right]}}{{1 - q}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5.\left[ {1 - {3^{10}}} \right]}}{{1 - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\left[ {{3^{10}} - 1} \right]}}{2}\end{array}\]
Sơ đồ tư duy - Cấp số nhân - Đại số 11